Warum in CLT

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Sei $X_1,...,X_n$ unabhängige Beobachtungen von einer Verteilung, die den Mittelwert $\mu$ und die Varianz $\sigma^2 < \infty$ , wenn $n \rightarrow \infty$ , dann

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Warum bedeutet dies, dass

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
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Vielleicht wurde dies im Folgenden nicht klar genug betont, aber die Aussage ist während der Aussage mathematisch bedeutsam und wahr ist mathematisch absurd, daher, wie das Sprichwort sagt, nicht einmal falsch .

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— Hat

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Ihre Interpretation ist etwas falsch. Der Central Limit Theorem (CLT) impliziert dies

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Dies liegt daran, dass CLT ein asymptotisches Ergebnis ist und wir in der Praxis nur mit endlichen Stichproben arbeiten. Wenn die Stichprobengröße jedoch groß genug ist, nehmen wir an, dass das CLT-Ergebnis in Näherung gilt und somit

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Dies liegt daran, dass für eine Zufallsvariable und Konstanten , (dies wird im zweiten Schritt verwendet) und , (dies wird im vorletzten Schritt verwendet). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Lesen Sie dies für weitere Erklärungen der Algebra.

— Greenparker
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Können Sie klarstellen, welche "Algebra" Sie verwenden, wenn Sie die Begriffe von der LHS von zur RHS übernehmen?

\sim

$\sim$

— Mavavilj

Ich habe die Algebra geklärt. Das meiste davon verwendet Eigenschaften der Varianz und Erwartung.

— Greenparker

Warum wird zB der zweite Term von zu ?

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— Mavavilj

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Weil . Intuitiv ändert das Hinzufügen einer konstanten Zahl zu einer Zufallsvariablen nichts an ihrer Varianz.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

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Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, den Mittelwert und die Varianz der Zufallsvariablen . $\bar X_n$

So besagt , dass der Mittelwert Null ist , und die Varianz eins ist. Daher haben wir für den Mittelwert: $\mathcal{N}(0,1)$

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$ Verwenden von , wobei Konstanten sind, erhalten wir:

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Nun kann mit , wobei Konstanten sind, erhalten wir Folgendes für die Varianz: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

Jetzt kennen wir den Mittelwert und die Varianz von , und die Gaußsche (Normal-) Verteilung mit diesem Mittelwert und dieser Varianz ist $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Sie fragen sich vielleicht, warum Sie all diese Algebra durchlaufen? Warum nicht direkt beweisen, dass zu ? $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Der Grund ist, dass es in der Mathematik schwierig (unmöglich?) Ist, die Konvergenz zu sich ändernden Dingen zu beweisen, dh die rechte Seite des Konvergenzoperators muss festgelegt werden, damit Mathematiker ihre Tricks zum Beweisen von Aussagen verwenden können. Der Ausdruck ändert sich mit , was ein Problem darstellt. Mathematiker transformieren die Ausdrücke also so, dass die rechte Seite fest ist, zB ist eine schöne feste rechte Seite. $\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
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Dies impliziert nicht die Normalität von , außer als Annäherung. Wenn wir jedoch für einen Moment so tun, als ob genau normal ist, haben wir das Ergebnis, dass normal ist wenn normal ist . Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist die Momenterzeugungsfunktion $\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

Das ist die normale mgf $(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
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Warum beweist die Momenterzeugungsfunktion dies für die Verteilung?

— Mavavilj

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Dies ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeit. Wenn zwei Zufallsvariablen dieselbe Momenterzeugungsfunktion haben, sind sie in der Verteilung gleich.

— Dsaxton