Beweisen Sie die Beziehung zwischen Mahalanobis Abstand und Hebelwirkung?

Ich habe Formeln auf Wikipedia gesehen. die Mahalanobis Distanz und Hebelwirkung in Beziehung setzen:

Der Mahalanobis-Abstand hängt eng mit der Verschuldungsstatistik , hat jedoch eine andere Skala: $h$
$D^{2} = (N - 1) (h - \frac{1}{N}) .$ $D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}).$

In einem verlinkten Artikel beschreibt Wikipedia : $h$

Im linearen Regressionsmodell die Hebel Punktzahl für die wird Dateneinheit definiert ist als: die Diagonalelement des Hutes Matrix , wobei die Matrixtransponierte bezeichnet. $i^{th}$
$h_{i i} = (H)_{i i},$ $h_{ii}=(H)_{ii},$ $i^{th}$ $H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}$ $^{\top}$

Ich kann nirgendwo einen Beweis finden. Ich habe versucht, von den Definitionen auszugehen, aber ich kann keine Fortschritte machen. Kann jemand einen Hinweis geben?

— dave2d
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Meine Beschreibung der Mahalanobis-Distanz von unten nach oben Erklärung der Mahalanobis-Distanz? beinhaltet zwei wichtige Ergebnisse:

Per Definition ändert es sich nicht, wenn die Regressoren gleichmäßig verschoben werden.
Der quadratische Mahalanobis-Abstand zwischen den Vektoren und ist gegeben durch wobei die Kovarianz der Daten ist. $x$ $y$
$D^{2} (x, y) = (x - y)^{'} Σ^{- 1} (x - y)$ $D^2(x,y) = (x-y)^\prime \Sigma^{-1}(x-y)$ $\Sigma$

(1) erlaubt uns anzunehmen, dass die Mittel der Regressoren alle Null sind. Es bleibt zu berechnen . Damit die Behauptung jedoch wahr ist, müssen wir eine weitere Annahme hinzufügen: $h_i$

Das Modell muss einen Achsenabschnitt enthalten.

Lassen Sie dies zu, und geben Sie $k \ge 0$ Regressoren und $n$ Daten an, und schreiben Sie den Wert des Regressors $j$ für die Beobachtung $i$ als $x_{ij}$ . Der Spaltenvektor dieser $n$ Werte für den Regressor $j$ sei $\mathbf{x}_{,j}$ und der Zeilenvektor dieser $k$ Werte für die Beobachtung $i$ sei $\mathbf{x}_i$ . Dann wird die Modellmatrix ist ,

X = (\begin{matrix} 1 & x_{11} & \dots & x_{1 k} \\ 1 & x_{21} & \dots & x_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n 1} & \dots & x_{n k} \end{matrix})

$X = \pmatrix{ 1 &x_{11} &\cdots &x_{1k} \\ 1 &x_{21} &\cdots &x_{2k} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 1 &x_{n1} &\cdots &x_{nk}}$

und per definitionem ist die Hutmatrix

H = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'},

$H = X(X^\prime X)^{-1} X^\prime,$

woher Eintrag $i$ entlang der Diagonale ist

\begin{matrix} (1) & h_{i} = h_{i i} = (1; x_{i}) (X^{'} X)^{- 1} (1; x_{i})^{'} . \end{matrix}

$h_i = h_{ii} = (1; \mathbf{x}_i) (X^\prime X)^{-1} (1; \mathbf{x}_i)^\prime.\tag{1}$

Es bleibt nichts anderes übrig, als diese zentrale Matrixinverse zu berechnen - aber aufgrund des ersten Schlüsselergebnisses ist es einfach, insbesondere wenn wir es in Blockmatrixform schreiben:

X^{'} X = n (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C \end{matrix})

$X^\prime X = n\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C}$

wobei $\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)^\prime$ und

C_{j k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i j} x_{i k} = \frac{n - 1}{n} Cov (x_{j}, x_{k}) = \frac{n - 1}{n} Σ_{j k} .

$C_{jk} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{ij} x_{ik} = \frac{n-1}{n}\operatorname{Cov}(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k) = \frac{n-1}{n}\Sigma_{jk}.$

(Ich habe $\Sigma$ für die Sample- Kovarianzmatrix der Regressoren geschrieben.) Da dies eine Blockdiagonale ist, kann ihre Inverse einfach durch Invertieren der Blöcke ermittelt werden:

(X^{'} X)^{- 1} = \frac{1}{n} (\begin{matrix} 1 & 0^{'} \\ 0 & C^{- 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) .

$(X^\prime X)^{-1} = \frac{1}{n}\pmatrix{1 & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & C^{-1}} = \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}.$

Aus der Definition $(1)$ wir

\begin{aligned} h_{i} & = (1; x_{i}) (\begin{matrix} \frac{1}{n} & 0^{'} \\ 0 & \frac{1}{n - 1} Σ^{- 1} \end{matrix}) (1; x_{i})^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} x_{i} Σ^{- 1} x_{i}^{'} \\ = \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} D^{2} (x_{i}, 0) . \end{aligned}

$\eqalign{ h_i &= (1; \mathbf{x}_i) \pmatrix{\frac{1}{n} & \mathbf{0}^\prime \\ \mathbf{0} & \frac{1}{n-1}\Sigma^{-1}}(1; \mathbf{x}_i)^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1}\mathbf{x}_i \Sigma^{-1}\mathbf{x}_i^\prime \\ &=\frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0}). }$

$D_i^2 = D^2(\mathbf{x}_i, \mathbf{0})$

D_{i}^{2} = (n - 1) (h_{i} - \frac{1}{n}),

$D_i^2 = (n-1)\left(h_i - \frac{1}{n}\right),$

QED .

$1/n$ $X$ $n-1$ $n-1$ $n$

$i$

R-Code, um zu zeigen, dass die Beziehung tatsächlich gilt:

x <- mtcars

# Compute Mahalanobis distances
h <- hat(x, intercept = TRUE); names(h) <- rownames(mtcars)
M <- mahalanobis(x, colMeans(x), cov(x))

# Compute D^2 of the question
n <- nrow(x); D2 <- (n-1)*(h - 1/n)

# Compare.
all.equal(M, D2)               # TRUE
print(signif(cbind(M, D2), 3))

— whuber
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Hervorragende Antwort, sehr gut mit Strenge und Intuition abgerundet. Prost!

— CGRUDZ

Danke für den Beitrag @whuber! Zur Überprüfung der Vernunft ist hier der R-Code, um zu zeigen, dass die Beziehung tatsächlich gilt: x <- mtcars rownames (x) <- NULL colnames (x) <- NULL n <- nrow (x) h <- hat (x, T) Mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)) (n-1) * (h - 1 / n) all.equal (Mahalanobis (x, colMeans (x), cov (x)), (n-1 ) * (h - 1 / n))

— Tal Galili

@Tal Ich hätte nicht gedacht, dass ich eine Plausibilitätsprüfung brauche - aber danke für den Code. :-) Ich habe Änderungen vorgenommen, um es und seine Ausgabe ein wenig zu klären.

— Whuber

@whuber, ich wollte ein Beispiel, das zeigt, wie die Gleichstellung funktioniert (und mir klar macht, dass ich die richtigen Annahmen getroffen habe). Ich habe auch den entsprechenden Wiki-Eintrag erweitert: en.wikipedia.org/wiki/… (zögern Sie nicht, ihn auch dort auszugeben, wie Sie es für richtig halten :))

— Tal Galili