PDF des Quadrats einer normalen Zufallsvariablen [geschlossen]

Ich habe dieses Problem, wo ich das pdf von $Y = X^2$ . Ich weiß nur, dass $X$ die Verteilung $N(0,1)$ . Welche Art von Verteilung ist $Y = X^2$ ? Gleich wie $X$ ? Wie finde ich das PDF?

Sie sind auf eines der bekanntesten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik gestoßen. Ich werde eine Antwort schreiben, obwohl ich sicher bin, dass diese Frage schon einmal auf dieser Site gestellt (und beantwortet) wurde.

Beachten Sie zunächst, dass das PDF von $Y = X^2$ nicht mit dem von $X$ identisch sein kann, da $Y$ nicht negativ ist. Um die Verteilung von $Y$ abzuleiten, können wir drei Methoden verwenden, nämlich die mgf-Technik, die cdf-Technik und die Dichtetransformationstechnik. Lass uns anfangen.

Moment erzeugende Funktionstechnik .

Oder charakteristische Funktionstechnik, wie auch immer Sie möchten. Wir müssen die mgf von $Y=X^2$ . Wir müssen also die Erwartung berechnen

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Nach dem Gesetz des unbewussten Statistikers müssen wir dieses Integral nur über die Verteilung von $X$ berechnen . Also müssen wir rechnen

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

In der letzten Zeile haben wir das Integral mit einem Gaußschen Integral mit dem Mittelwert Null und der Varianz 1 verglichen$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . Natürlich integriert sich dies zu einem über die reale Leitung. Was können Sie jetzt mit diesem Ergebnis anfangen? Nun, Sie können eine sehr komplexe inverse Transformation anwenden und das PDF ermitteln, das diesem MGF entspricht, oder Sie erkennen es einfach als MGF einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad. (Denken Sie daran, dass eine Chi-Quadrat-Verteilung ein Sonderfall einer Gamma-Verteilung mit$\alpha = \frac{r}{2}$ , wobei$r$die Freiheitsgrade sind und$\beta = 2$).

CDF-Technik

Dies ist vielleicht die einfachste Möglichkeit und wird von Glen_b in den Kommentaren vorgeschlagen. Nach dieser Technik berechnen wir

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

und da Verteilungsfunktionen die Dichtefunktionen definieren, differenzieren wir, nachdem wir einen vereinfachten Ausdruck erhalten haben, nur in Bezug auf $y$ , um unser PDF zu erhalten. Wir haben dann

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

wobei $\Phi(.)$ die CDF einer normalen Standardvariablen bezeichnet. Differenzieren in Bezug auf $y$ wir bekommen,

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

Dies ist das PDF einer Chi-Quadrat-Distribution mit einem Freiheitsgrad (möglicherweise sehen Sie bereits ein Muster).

Dichte Transformationstechnik

$Y = g(X)$$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

$y$$g$. Leider erfordert dieser Satz eine Eins-zu-Eins-Transformation, was hier eindeutig nicht der Fall ist. In der Tat können wir sehen, dass zwei Werte von$X$ Ergebnis im gleichen Wert von $Y$, $g$eine quadratische Transformation sein. Daher ist dieser Satz nicht anwendbar.

Was jedoch anwendbar ist, ist eine Erweiterung davon. Unter dieser Erweiterung können wir die Unterstützung von zersetzen$X$ (Unterstützung bedeutet die Punkte, an denen die Dichte nicht Null ist), in disjunkte Mengen, so dass $Y= g(X)$ definiert eine Eins-zu-Eins-Transformation von diesen Mengen in den Bereich von $g$. Die Dichte von$Y$ergibt sich dann aus der Summe aller dieser inversen Funktionen und den entsprechenden absoluten Jacobi. In der obigen Notation

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

wobei die Summe über alle inversen Funktionen läuft. Dieses Beispiel wird es klar machen.

Zum $y = x^2$, we have two inverse functions, namely $x = \pm \sqrt{y}$ with corresponding absolute Jacobian $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$ and so the corresponding pdf is found to be

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

the pdf of a chi-squared distribution with one degree of freedom. On a side note, I find this technique particularly useful as you no longer have to derive the CDF of the transformation. But of course, these are personal tastes.

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So you can go to bed tonight completely assured that the square of a standard normal random variable follows the chi-squared distribution with one degree of freedom.