Erwartung des Maximums von iid Gumbel-Variablen

Ich lese in Wirtschaftsmagazinen immer wieder über ein bestimmtes Ergebnis, das in zufälligen Gebrauchsmustern verwendet wird. Eine Version des Ergebnisses ist: wenn $\epsilon_i \sim_{iid},$ Gumbel ( $\mu, 1), \forall i$ , dann gilt :

$$E[\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \mu + \gamma + \ln\left(\sum_i \exp\left\{\delta_i \right\} \right),$$

wobei $\gamma \approx 0.52277$ ist der Euler-Mascheroni Konstante. Ich habe mit R überprüft, ob dies sinnvoll ist. Die CDF für die Gumbel $(\mu, 1)$ -Verteilung ist:

$$G(\epsilon_i) = \exp(-\exp(-(\epsilon_i - \mu)))$$

Ich versuche einen Beweis dafür zu finden und hatte keinen Erfolg. Ich habe versucht, es selbst zu beweisen, aber ich komme nicht über einen bestimmten Schritt hinaus.

Kann mir jemand einen Beweis dafür geben? Wenn nicht, kann ich meinen versuchten Beweis vielleicht dahin senden, wo ich stecke.

Ich schätze die in Ihrer Antwort gezeigte Arbeit: Vielen Dank für diesen Beitrag. Der Zweck dieses Beitrags ist eine einfachere Demonstration. Der Wert der Einfachheit ist Offenbarung: Wir können leicht die gesamte Verteilung des Maximums erhalten, nicht nur seine Erwartung.

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Ignoriere indem du es in δ i aufnimmst und annimmst, dass alle ϵ i eine Gumbel ( 0 , 1 ) -Verteilung haben. (Das heißt, ersetzen Sie jedes ϵ i durch ϵ i - μ und ändern Sie δ i in δ i + μ .) Dies ändert die Zufallsvariable nicht$\mu$$\delta_i$$\epsilon_i$$(0,1)$$\epsilon_i$$\epsilon_i-\mu$$\delta_i$$\delta_i+\mu$

$$X = \max_{i}(\delta_i + \epsilon_i) = \max_i((\delta_i+\mu) + (\epsilon_i-\mu)).$$

Die Unabhängigkeit von impliziert für alle reellen x, dass Pr ( X ≤ x ) das Produkt der einzelnen Chancen Pr ( δ i + ϵ i ≤ x ) ist . Logbuch führen und grundlegende Eigenschaften von Exponentialen anwenden$\epsilon_i$$x$$\Pr(X\le x)$$\Pr(\delta_i+\epsilon_i\le x)$

$$\eqalign{ \log \Pr(X\le x) &= \log\prod_{i}\Pr(\delta_i + \epsilon_i \le x) = \sum_i \log\Pr(\epsilon_i \le x - \delta_i)\\ &= -\sum_ie^{\delta_i}\, e^{-x} = -\exp\left(-x + \log\sum_i e^{\delta_i}\right). }$$

Dies ist der Logarithmus der CDF einer Gumbel-Verteilung mit dem Ortsparameter Das ist,$\lambda=\log\sum_i e^{\delta_i}.$

hat eine Gumbel-Verteilung ( log ∑ i e δ i , 1 ) .$X$$\left(\log\sum_i e^{\delta_i}, 1\right)$

Dies sind viel mehr Informationen als angefordert. Der Mittelwert einer solchen Verteilung ist was zur Folge hat$\gamma+\lambda,$

$$\mathbb{E}[X] = \gamma + \log\sum_i e^{\delta_i},$$

QED.

Es stellt sich heraus, dass ein Econometrica- Artikel von Kenneth Small und Harvey Rosen dies 1981 zeigte, jedoch in einem sehr speziellen Kontext, so dass das Ergebnis viel Graben erfordert, ganz zu schweigen von einer Ausbildung in Wirtschaftswissenschaften. Ich beschloss, es auf eine Weise zu beweisen, die ich für zugänglicher halte.

Beweis : Sei die Anzahl der Alternativen. In Abhängigkeit von den Werten des Vektors ε = { ε 1 , . . . , ϵ J } nimmt die Funktion max i ( δ i + ϵ i ) unterschiedliche Werte an. Konzentrieren Sie sich zunächst auf die Werte von ϵ, so dass max i ( δ i + ϵ i ) = δ 1 + ϵ 1 ist . Das heißt, wir werden δ integrieren$J$$\boldsymbol{\epsilon} = \{\epsilon_1, ..., \epsilon_J\}$$\max_i(\delta_i + \epsilon_i)$$\boldsymbol{\epsilon}$$\max_i (\delta_i + \epsilon_i) = \delta_1 + \epsilon_1$$\delta_1 + \epsilon_1$ über die Menge :$M_1 \equiv \{\boldsymbol\epsilon : \delta_1 + \epsilon_1 > \delta_j + \epsilon_j, j \neq 1\}$

$$\begin{equation} \begin{split} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_1} [\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \hspace{3.25in}\\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left[\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} ... \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_2) ...f(\epsilon_J) d\epsilon_2 ...d\epsilon_J \right] d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left(\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} f(\epsilon_2)d\epsilon_2 \right) ... \left( \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_J) d\epsilon_J \right) d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_1 + \epsilon_1\right) f(\epsilon_1) F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2) ...F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J) d\epsilon_1 \end{split} \end{equation}$$

The term above is the first of $J$ such terms in $E[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)]$. Specifically,

$$\begin{equation} E\left[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)\right] = \sum_i E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right]. \end{equation}$$

Now we apply the functional form of the Gumbel distribution. This gives

$$\begin{equation} \begin{split} &E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \hspace{2in} \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i} e^{- e^{\mu - \epsilon_i}} \prod_{j \neq i} e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i } \prod_{j } e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ \sum_{j} -e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ -e^{\mu - \epsilon_i } \sum_{j} e^{ \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \end{split} \end{equation}$$

where the second step comes from collecting one of the exponentiated terms into the product, along with the fact that $\delta_j - \delta_i = 0$ if $i = j$.

Now we define $D_i \equiv \sum_j e^{\delta_j - \delta_i}$, and make the substitution $x = D_i\hspace{0.5mm} e^{\mu - \epsilon_i}$, so that $dx = -D_i e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i \Rightarrow -\frac{dx} {D_i} = e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i$ and $\epsilon_i = \mu - \log\left(\frac{x}{D_i}\right)$. Note that as $\epsilon_i$ approaches infinity, $x$ approaches 0, and as $\epsilon_i$ approaches negative infinity, $x$ approaches infinity.

$$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \\ &\hspace{3mm}\int^{0}_{\infty} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)\left(-\frac{1}{D_i}\right)\exp\left\{ -x\right\}dx \\ =&\hspace{3mm}\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)e^{ -x}dx \\ =&\hspace{3mm} \frac{\delta_i + \mu}{D_i}\int^{\infty}_{0} e^{-x}dx -\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \log[x]e^{-x}dx + \frac{\log[D_i]} {D_i} \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx\\ \end{split} \end{equation}$$

The Gamma Function is defined as $\Gamma(t) = \int^{\infty}_{0} x^{t - 1}e^{-x}dx$. For values of $t$ which are positive integers, this is equivalent to $\Gamma(t) = (t - 1)!$, so $\Gamma(1) = 0! = 1$. In addition, it is known that the Euler–Mascheroni constant, $\gamma \approx 0.57722$ satisfies

$$\gamma = -\int^{\infty}_{0} \log[x] e^{-x}dx.$$

Applying these facts gives

$$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$$

Then we sum over $i$ to get

$$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \sum_i \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$$

Recall that $D_i = \sum_j e^{\delta_j - \delta_i} = \frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}}$. Notice that the familiar logit choice probabilities $P_i = \frac{e^{\delta_i}}{\sum_j \delta_j}$ are inverses of the $D_i$'s, or in other words $P_i = 1/D_i$. Also note that $\sum_i P_i = 1$. Then we have

$$\begin{equation} \begin{split} \hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] =& \sum_i P_i\left(\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]\right)\\ =&\hspace{2mm} (\mu + \gamma) \sum_i P_i + \sum_i P_i\delta_i + \sum_iP_i \log[D_i] \\ =& \hspace{2mm} \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}} \right]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\sum_j e^{\delta_j}\right] - \sum_i P_i \log[e^{\delta_i}]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \log\left[ \sum_j e^{\delta_j}\right] \sum_i P_i - \sum_i P_i \delta_i \\ =& \mu + \gamma + \log\left[ \sum_j \exp\left\{ \delta_j \right\}\right] .\end{split} \end{equation}$$ Q.E.D.