Zufällige überlappende Intervalle

Wie finde ich einen analytischen Ausdruck im folgenden Problem? $D(n,l,L)$

Ich lasse zufällig "Balken" der Länge in ein Intervall . Die "Balken" können sich überlappen. Ich möchte die mittlere Gesamtlänge des Intervalls das von mindestens einem "Balken" belegt wird. $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

In der Grenze "niedriger Dichte" sollte die Überlappung vernachlässigbar sein und . In dem "High-Density" limit, nähern sich . Aber wie kann ich einen allgemeinen Ausdruck für ? Das sollte ein ziemlich grundlegendes statistisches Problem sein, aber ich konnte in den Foren keine erklärende Lösung finden. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Jede Hilfe wäre sehr dankbar.

Beachten Sie, dass die Balken wirklich zufällig (statistisch unabhängig) voneinander fallen gelassen werden.

probability distributions

— Daniel
quelle

Ist das eine Frage aus einem Kurs oder Lehrbuch? Wenn ja, fügen Sie bitte das [self-study]Tag hinzu und lesen Sie das Wiki .

— Gung - Reinstate Monica

Nein, ist es nicht. Sie können die mittlere belegte Länge mit einem Computer leicht durch Stichproben berechnen, aber das Problem scheint so grundlegend zu sein, dass es einen theoretischen Ansatz geben muss, um es zu lösen. Da meine Versuche alle fehlschlugen, war ich nur neugierig, wie es geht.

— Daniel

Was ist Ihr Modell dafür, wie die Balken auf [0, L] "fallen gelassen" werden? Können sie an den Rändern hervorstehen? Bearbeiten: Ihre Zeichnung und Antwort legen nahe, dass dies der Fall ist.

— Adrian

Finde Wahrscheinlichkeit

, dass ein gegebener

nicht abgedeckt ist - das ist eine Kreuzung

iid Ereignisse. Dann ist die erwartete Länge eines unbedeckten Abschnitts einfach

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in von einem einzelnen abgelegten Balken belegt wird, beträgt $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$

$P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

$n$

$[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$

— Daniel
quelle

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

Danke für die Hinweise. Sie haben Recht, ich hätte schreiben sollen, dass zwischen den zufälligen "Zeichnungen" keine Korrelation bestehen soll. Und Sie haben auch Recht, die obige Lösung ist nur gültig, wenn die Balken nicht hervorstehen dürfen. Wie könnte das Problem gelöst werden, wenn wir ihnen erlauben, hervorzustechen?

— Daniel

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

Ich habe jetzt die Randeffekte betrachtet. Ich verstehe, dass die Besetzung von zwei verschiedenen Punkten im Intervall korreliert, aber ich sehe nicht, wie sich dies auf die Lösung auswirken würde.

— Daniel