Einseitige Chebyshev-Ungleichung für höhere Momente

Gibt es eine Analogie zu den Ungleichungen von Chebyshev im einseitigen Fall?

Die Chebyshev-Cantelli-Ungleichung scheint nur für die Varianz zu funktionieren, während die Chebyshevs-Ungleichung leicht für alle Exponenten erzeugt werden kann.

Kennt jemand eine einseitige Ungleichung, die die höheren Momente nutzt?

approximation moments probability-inequalities

— Andreas Müller
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Zur Vereinfachung sei eine kontinuierliche Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null und der Dichtefunktion und sei mit . Wir haben $X$ $f(x)$ $P\{X \geq a\}$ $a > 0$ wobei . Ist einegeradeganze Zahl und eine positive reelle Zahl, so ist

P {X \geq ein} = \int_{ein}^{\infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} G (x) f (x) d x = E [G (X)]

$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$

g (x) = 1_{[a, \infty)}

$g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$

n

$n$

b

$b$

und so

h (x) = {(\frac{x + b}{ein + b})}^{n} \geq G (x), - \infty < x < \infty,

$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$

So haben wirdass für alle positiven reellen Zahlen

und

E [h (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x) f (x) d x \geq \int_{- \infty}^{\infty} G (x) f (x) d x = E [G (X)] .

$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$

a

$a$

b

$b$

wo die am weitesten rechts liegende Erwartung in

das ist

-ten Zeitpunkt (

gerade) von

über

. Wenn

, wird die kleinste Obergrenze von

erhalten, wenn

\begin{matrix} (1) & P {X \geq ein} \leq E [{(\frac{X + b}{ein + b})}^{n}] = (ein + b)^{- n} E [(X + b)^{n}] \end{matrix}

$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$

(1)

$(1)$

n

$n$

n

$n$

X

$X$

- b

$-b$

n = 2

$n = 2$

P {X \geq a}

$P\{X \geq a\}$

mit der einseitigen Chebyshev-Ungleichung (oder Chebyshev-Cantelli-Ungleichung):

b = σ^{2} / a

$b = \sigma^2/a$

Für größere Werte von

ist die Minimierung in Bezug auf

unordentlicher.

P {X \geq ein} \leq \frac{σ^{2}}{{ein}^{2} + σ^{2}} .

$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$

n

$n$

b

$b$

— Dilip Sarwate
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