Bayes-Theorem mit mehreren Bedingungen

Ich verstehe nicht, wie diese Gleichung abgeleitet wurde.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Diese Gleichung stammt aus der Arbeit "Trial by Probability", in der der Fall von OJ Simpson als Beispielproblem angegeben wurde. Der Angeklagte wird wegen Doppelmordes vor Gericht gestellt und es werden zwei Beweise gegen ihn vorgelegt.

ist der Fall, dass das Blut des Angeklagten einem Blutstropfen entspricht, der an einem Tatort gefunden wurde. ist der Fall, dass das Blut eines Opfers mit dem Blut einer Socke des Angeklagten übereinstimmt. Unter der Annahme von Schuld erhöht das Auftreten eines Beweises die Wahrscheinlichkeit des anderen. ist das Ereignis, in dem ein Angeklagter unschuldig ist, während es wenn er schuldig ist. $M_{1}$ $M_{2}$ $I$ $I'$

Wir versuchen, die CEILING der Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass der Angeklagte angesichts der beiden Beweise unschuldig ist.

Werte für einige Variablen wurden angegeben, aber was mich interessiert, ist, wie die Gleichung abgeleitet wurde. Ich habe es versucht, bin aber nicht weitergekommen.

Ja, ich habe bereits die Option "Fragen, auf die Sie möglicherweise bereits eine Antwort haben" aktiviert.

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
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Was bedeutet

? Ist es

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Xi'an,

@ Xi'an ja

ist

in einer anderen Notation

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

Nach dem Satz von Bayes: Nun argumentiert das Papier, das Sie zur Verfügung gestellt haben

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Wenn wahr , dann sind und unabhängig. Wenn man aber Schuld annimmt, würde das Auftreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen erhöhen. $I$ $M_1$ $M_2$

So und

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

Daher ist

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

$\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$ and since the occurrence of

M_{2}

$M_2$ would increase the probability of

M_{1}

$M_1$ :

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Francis
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I wanna first thank you for taking the time to help. But I'm still a bit confused. Could you please add equation numbers and indicate where you apply earlier equations in later substitutions? Things are starting to make sense but I still don't get the inequality after the 'and', and the part where you substitute in the denominator and the whole thing becomes an inequality. I'm guessing an explanation on how the quoted argument from the paper is translated mathematically would help. Thanks again!

— Sakurabe

@Sakurabe: better?

— Francis

Okay, now I got how the evidences reinforce each other. Last question, did we just drop

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$ from the denominator? As in drop without a theorem or anything? I mean, it does make some sense since it wouldn't reverse the resulting inequality from (2) plus it is also what I assumed they did in an earlier example in the paper involving only one DNA evidence (with the +1 in the denominator). Thanks, I really appreciate your help.

— Sakurabe

@Sakurabe: Yes, because that term is non-negative, so dropping it will decrease the denominator.

— Francis