Was sind für die Intuition einige Beispiele für unkorrelierte, aber abhängige Zufallsvariablen im wirklichen Leben?

Um zu erklären, warum unkorreliert nicht unabhängig bedeutet, gibt es mehrere Beispiele, die eine Reihe von Zufallsvariablen beinhalten, die jedoch alle so abstrakt erscheinen: 1 2 3 4 .

Diese Antwort scheint sinnvoll zu sein. Meine Interpretation: Eine Zufallsvariable und ihr Quadrat mögen unkorreliert sein (da scheinbar fehlende Korrelation so etwas wie lineare Unabhängigkeit ist), aber sie sind eindeutig abhängig.

Ich denke, ein Beispiel wäre, dass (standardisierte?) Höhe und Höhe nicht korreliert, aber abhängig sind, aber ich verstehe nicht, warum jemand Höhe und Höhe vergleichen möchte . $^2$ $^2$

Was sind einige Beispiele für unkorrelierte, aber abhängige Zufallsvariablen im wirklichen Leben, um einem Anfänger in elementarer Wahrscheinlichkeitstheorie oder ähnlichen Zwecken eine Anschauung zu geben?

— BCLC
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Dies beantwortet Ihre Frage nicht, scheint jedoch relevant zu sein: Manchmal sind ein rv und sein Quadrat korreliert und manchmal nicht korreliert. Wenn zum Beispiel X auf [0,1] einheitlich ist, sind X und X ^ 2 nicht korreliert. Wenn jedoch X auf [-1, 1] einheitlich ist, sind X und X ^ 2 nicht korreliert. (Zeichnen Sie ein Bild, um dies besser erkennen zu können.) In beiden Fällen sind X und X ^ 2 jedoch abhängig.

— Martha

@ Martha, in deinem Kommentar ist ein Tippfehler. Ich denke, es ist das erste "unkorrelierte", das "korreliert" werden sollte. ;)

— Ein alter Mann im Meer.

@Anoldmaninthesea korreliert und manchmal korreliert?

— BCLC

@BCLC "Wenn X auf [0,1] einheitlich ist, dann sind X und X ^ 2 nicht korreliert." Sollte lauten "wenn X auf [0,1] einheitlich ist, dann sind X und X ^ 2 korreliert.", Denke ich.

— Ein alter Mann im Meer.

@Anoldmaninthesea Sie haben Recht: Korreliert mit [0,1], aber nicht korreliert mit [-1,1]. Vielen Dank für den Hinweis auf den Tippfehler.

— Martha

Antworten:

In der Finanzbranche werden GARCH- Effekte (generalisierte autoregressive bedingte Heteroskedastizität) häufig genannt: Aktienrendite , wobei der Preis zum Zeitpunkt , mit dem sie selbst unkorreliert sind ihre eigene Vergangenheit $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ $P_t$ $t$ $r_{t-1}$ wenn die Aktienmärkte effizient sind (ansonsten könnten Sie leicht und gewinnbringend vorhersagen, wohin die Kurse gehen), aber ihre Quadrate und $r_t^2$ sind nicht: Es gibt eine Zeitabhängigkeit in den zeitlich gruppierten Varianzen mit Perioden hoher Varianz in flüchtigen Zeiten. $r_{t-1}^2$

Hier ist ein künstliches Beispiel (ich weiß es noch einmal, aber "echte" Aktienretouren können durchaus ähnlich aussehen):

Sie sehen den Hochvolatilitätscluster um insbesondere . $t\approx400$

Generiert mit

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

— Christoph Hanck
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Danke tapferer stechender Rentierkönig Hanck. Ein bisschen Strenge bitte? ^ - ^ Mit Aktienrendite meinen Sie Rt = (St + 1-St) / St? Quadrate von St oder Quadrate oder Rt?

— BCLC

Ich habe eine kleine Klarstellung hinzugefügt

— Christoph Hanck

Ist das R?

$\$

— BCLC

Es ist R. Es erfordert das Paket TSA .

— Toliveira

Ein einfaches Beispiel ist eine bivariate Verteilung, die auf einem ringförmigen Gebiet gleichmäßig ist. Die Variablen sind nicht korreliert, aber eindeutig abhängig. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass eine Variable nahe am Mittelwert liegt, muss die andere vom Mittelwert entfernt sein.

— rvl
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Was genau sind die beiden Variablen?

— BCLC

X

$X$

Y

$Y$

f (x, y) = 1 / 3 π

$f(x,y) = 1 / 3\pi$

1 < x^{2} + y^{2} < 2

$1 < x^2+y^2 < 2$

0

$0$

Nun, ich denke, Physikbeispiele sind real. Vielen Dank, rvl. Warum ist dein Beispiel wahr?

— BCLC

Zeichnen Sie ein Diagramm der Region, in der die Dichte ungleich Null ist, und denken Sie darüber nach.

— rvl

Ich fand die folgende Abbildung von Wiki sehr nützlich für die Intuition. Insbesondere zeigt die untere Reihe Beispiele für nicht korrelierte, aber abhängige Verteilungen.

Beschriftung des obigen Diagramms im Wiki: Mehrere Sätze von (x, y) Punkten mit dem Pearson-Korrelationskoeffizienten von x und y für jeden Satz. Beachten Sie, dass die Korrelation das Rauschen und die Richtung einer linearen Beziehung (obere Reihe) widerspiegelt, jedoch nicht die Steigung dieser Beziehung (Mitte) oder viele Aspekte nichtlinearer Beziehungen (unten). NB: Die Zahl in der Mitte hat eine Steigung von 0, aber in diesem Fall ist der Korrelationskoeffizient nicht definiert, da die Varianz von Y Null ist.

— yuqian
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