Wenn und , ist ?

9

Dies sind keine Hausaufgaben.

Sei $X$ eine Zufallsvariable. Wenn $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ und $\text{Var}[X] = 0$ , folgt dann $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuitiv scheint dies offensichtlich, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beweisen würde. Ich weiß sicher, dass aus den Annahmen folgt $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Also

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Das scheint mich nirgendwohin zu führen. Ich könnte versuchen

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Jetzt seit

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ folgt, dass

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ ebenfalls.

Aber wenn ich Gleichheit verwenden würde,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ dann ist mein Bauchgefühl, dass

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , so dass

X \equiv k

$X \equiv k$ .

Woher soll ich das wissen? Ich nehme einen Beweis durch Widerspruch an.

Wenn, im Gegenteil, $X \neq k$ für alle $X$ , dann $(X-k)^2 > 0$ , und $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ für alle $X$ . Wir haben einen Widerspruch, also $X \equiv k$ .

Ist mein Beweis gut - und wenn ja, gibt es vielleicht einen besseren Weg, um diese Behauptung zu beweisen?

probability

— Klarinettist
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@ user777 Ich habe diese Methode ursprünglich ausprobiert (wie Sie in meinem Gleichung), war sich aber nicht sicher, wie es weitergehen soll.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Klarinettist

3

Ich glaube, Chebyshevs Ungleichheit beantwortet diese Frage sofort.

— whuber

@whuber: Zumindest die Aussage von Wikipedia über Chebyshevs Ungleichung erfordert ausdrücklich eine Varianz ungleich Null . Ich sehe nicht wirklich, ob wir einen elementaren Beweis für den Fall der

— Nullvarianz

1

@Stephan Sie können problemlos jede nicht entartete Verteilung mit dem Bereich mischen und die Ungleichung anwenden, um zu zeigen, dass für alle und alle .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Hier ist ein maßtheoretischer Beweis, der die anderen ergänzt und nur Definitionen verwendet. Wir arbeiten an einem Wahrscheinlichkeitsraum . Beachten Sie, dass und betrachten Sie das Integral . Angenommen, für einige existiert so dass auf und . Dann approximiert von unten, also durch die Standarddefinition von als das Supremum von Integralen einfacher Funktionen, die von unten approximieren, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ was ein Widerspruch ist. Somit ist , . Getan.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
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5

Beweisen Sie dies durch Widerspruch. Durch die Definition der Varianz und Ihrer Annahmen haben Sie

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte von . Beachten Sie, dass sowohl als auch sind. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Wenn nun , dann $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

hat Maß größer als Null ist , und . Aber dann $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(Einige Argumente im Stil könnten hier enthalten sein) und daher $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

und dein Widerspruch.

— Stephan Kolassa
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2

Was ist ? Ist das dasselbe wie als? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, äquiv. $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Jedenfalls ist es offensichtlich, dass

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Annehmen

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Dann

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

Der letzte Schritt, von dem ich glaube, beinhaltet die Kontinuität der Wahrscheinlichkeit ... oder was Sie getan haben (Sie haben Recht).

Theres ist auch Chebyshevs Ungleichung :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Wieder gut reden .

Übrigens, warum ist es das?

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Es scheint mir, dass während $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
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1

Ja, du hast recht. Ich habe den Beitrag bearbeitet

— Klarinettist

@ Clarkein bearbeitete auch meine: P

— BCLC