Bayesianische vs. Frequentist-Berechnungsschritte

Dieser Artikel enthält ein Beispiel für Bayesianische vs. Frequentistische Philosophien.

Ein altes Medikament behandelt erfolgreich 70% der Patienten. Um ein neues Medikament zu testen, geben Forscher es 100 Patienten, von denen sich 83 erholen. Wie sicher sollten wir auf der Grundlage dieser Beweise sein, dass das neue Medikament schlechter als, identisch mit oder besser als das alte ist?

Bayesianische Lösung: Unter Standardannahmen beträgt die "hintere" Wahrscheinlichkeit, dass das neue Medikament besser ist als das alte, 0,89, die Wahrscheinlichkeit, dass es gleich ist, 0,11 (beginnend mit einem Prior von 0,5) und die Wahrscheinlichkeit, dass es schlechter ist, ist praktisch Null.

Häufige Lösung: In unserem Fall benötigen wir den Bruchteil der Zeit, in der 83 oder mehr oder 57 oder weniger Wiederherstellungen angezeigt werden, was 0,006 entspricht. Diese Größe wird als p-Wert bezeichnet. Eine oft kritisierte Konvention ist, dass ein p-Wert von weniger als 0,05 Beweise gegen die Nullhypothese impliziert, und unser Ergebnis von 0,006 ist sicherlich als solches zu qualifizieren.

Meine Frage: Wie sind die Bayes'schen und die Frequentistischen Lösungen entstanden? Bitte geben Sie die Schritte an. Vielen Dank.

— Danke im Voraus
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Was haben die Wörter "Gauß" und "zentraler Grenzwertsatz" mit diesem speziellen Problem zu tun? Bitte bearbeiten Sie Ihre Frage, um deutlich zu machen, wie Sie aufgrund Ihrer Überlegungen dazu gekommen sind, sie zu verwenden. Andernfalls entfernen Sie sie bitte, da dies ziemlich verwirrend ist.

— Sycorax sagt Reinstate Monica

@ user777 Ich habe die 2 Begriffe entfernt. Der Grund, warum ich sie überhaupt verwendet hatte, ist, dass der zentrale Grenzwertsatz und die Gaußsche Verteilung (dh die Normalverteilung) die Grundlage für p-Werte sind. Aber vielleicht war ich zu erreichen . Daher die Entfernung.

— Thanks_in_advance

Das gilt nur, wenn die Referenzverteilung normal ist. Zum Beispiel ist die Referenzverteilung für einen -Unabhängigkeitstest ... .

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Sycorax sagt Reinstate Monica

@ user777 Danke. Schätzen Sie die Klarstellung.

— Thanks_in_advance

Brendon Brewer (der Autor) schrieb in seinem Blog einen Follow-up-Beitrag, in dem die Details sowohl für die Berechnung der hinteren Wahrscheinlichkeit als auch für den p-Wert detailliert beschrieben werden.

Die p-Wert-Berechnungen sind unter der Annahme einer Binomialwahrscheinlichkeit ziemlich Standard. Das von ihm verwendete Bayes'sche Modell ist definiert als

\begin{aligned} p & \sim dirac-uniform-mixture \\ x | p & \sim binomial(100, p) \end{aligned}

$\begin{align*} p & \sim \text{dirac-uniform-mixture} \\ x \, | \, p & \sim \text{binomial(100, p)} \end{align*}$

wobei die Dirac / Uniform-Mischung für durch definiert ist $p \in [0, 1]$

π (p) = \frac{1}{2} δ (p - 0.7) + \frac{1}{2} .

$\begin{equation*} \pi(p) = \frac{1}{2}\delta(p - 0.7) + \frac{1}{2}. \end{equation*}$

Wenn Sie also ein Modell haben, können Sie die posterioren Wahrscheinlichkeiten auf übliche Weise berechnen. Brendon verwendet (vernünftigerweise) eine diskrete Annäherung in seinen technischen Details, aber es kann illustrativ sein, Dinge analytisch herauszuarbeiten. Ich werde zeigen, wie man die hintere Wahrscheinlichkeit von 0,89 erreichen kann, dass das neue Medikament besser ist als das alte. Die anderen Berechnungen verlaufen ähnlich.

Der hintere ist definiert durch

π (p | x) = \frac{π (x | p) π (p)}{π (x)}

$\begin{equation*} \pi(p \, | \, x) = \frac{\pi(x \, | \, p) \pi(p)}{\pi(x)} \end{equation*}$

Dabei ist die Binomialmassenfunktion und die Normalisierungsfunktion für allgemeines ist $\pi(x \, | \, p)$ $\pi(x)$ $n$

\begin{aligned} π (x) & = \int_{0}^{1} π (x | p) π (p) d p \\ = \frac{1}{2} (\binom{n}{x}) (\int_{0}^{1} δ (p - 0.7) p^{x} (1 - p)^{n - x} d p + \int_{0}^{1} p^{x} (1 - p)^{n - x} d p) \\ = \frac{1}{2} (\binom{n}{x}) ({0.7}^{x} {0.3}^{n - x} + B (x + 1, n - x + 1)) . \end{aligned}

$\begin{align*} \pi(x) & = \int_{0}^{1} \pi(x \, | \, p)\pi(p) dp \\ & = \frac{1}{2}{n \choose x}\left(\int_{0}^{1}\delta(p - 0.7)p^x (1 - p)^{n - x}dp + \int_{0}^{1}p^x (1 - p)^{n - x} dp \right) \\ & = \frac{1}{2}{n \choose x}\left(0.7^x 0.3^{n - x} + B(x + 1, n - x + 1)\right). \end{align*}$

Hier habe ich die Tatsache verwendet, dass (für ausreichend schönes ) und dass für die Beta-Funktion (siehe hier ). $\int \delta(t-x)f(t)dt = f(x)$ $f$ $\int_{0}^{1}p^{\alpha - 1}(1 - p)^{\beta - 1}dp = B(\alpha, \beta)$ $B$

Angesichts des Seitenzahns muss man nur eine Integration durcharbeiten, um zu finden : $P(p > 0.7 \, | \, x = 83)$

\begin{aligned} \int_{0.7}^{1} π (p | x = 83) d p & = \frac{1}{π (x = 83)} \int_{0.7}^{1} (\frac{1}{2} δ (p - 0.7) + \frac{1}{2}) π (x = 83 | p) d p \\ = \frac{1}{π (x = 83)} \int_{0.7}^{1} \frac{1}{2} (\binom{100}{83}) p^{83} (1 - p)^{17} d p \\ = \frac{\int_{0.7}^{1} p^{83} (1 - p)^{17} d p}{{0.7}^{83} {0.3}^{17} + B (84, 18)} \\ = 0.8907679. \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{0.7}^{1} \pi(p \, | \, x = 83) dp & = \frac{1}{\pi(x = 83)} \int_{0.7}^{1} \left(\frac{1}{2}\delta(p - 0.7) + \frac{1}{2}\right)\pi(x = 83 \, | \, p) dp \\ & = \frac{1}{\pi(x = 83)} \int_{0.7}^{1} \frac{1}{2} {100 \choose 83} p^{83} (1 - p)^{17} dp \\ & = \frac{\int_{0.7}^{1} p^{83} (1 - p)^{17} dp}{0.7^{83} 0.3^{17} + B(84, 18)} \\ & = 0.8907679. \end{align*}$

— jtobin
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