Korrelationskoeffizient für eine gleichmäßige Verteilung auf einer Ellipse

Ich lese gerade eine Arbeit, die behauptet, dass der Korrelationskoeffizient für eine gleichmäßige Verteilung im Inneren einer Ellipse

f_{X., Y.} (x, y) = {\begin{cases} Konstante & wenn (x, y) innerhalb der Ellipse \\ 0 & Andernfalls \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

ist gegeben durch

ρ = \sqrt{1 - - {(\frac{h}{H.})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

Dabei sind und die vertikalen Höhen in der Mitte bzw. an den Extremen. $h$ $H$

Der Autor verrät nicht, wie er das erreicht, sondern sagt nur, dass wir die Skalen ändern, drehen, übersetzen und natürlich integrieren müssen. Ich würde sehr gerne seine Schritte zurückverfolgen, aber ich bin ein bisschen verloren mit all dem. Ich wäre daher für einige Hinweise dankbar.

Vielen Dank im Voraus.

Oh und fürs Protokoll

Châtillon, Guy. "Der Ballon regelt eine grobe Schätzung des Korrelationskoeffizienten." The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

Es ist ziemlich amüsant.

— JohnK
quelle

Könnten Sie einen Ausdruck für die Ellipse aufschreiben? Die "Höhe im Extremfall" ist für eine Standardellipse nicht sinnvoll: da sie die Höhe bei hat die Extreme. Wenn gleichmäßig im Inneren der Standardellipse verteilt ist, ist .

\frac{x^{2}}{{ein}^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

0

$0$

(X, Y)

$(X,Y)$

ρ = 0

$\rho = 0$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate Ja, ich habe den Standardfall ausprobiert und berechnet , keine Probleme. Was ist mit den anderen Fällen, in denen Sie skalieren, drehen usw. müssen?

ρ = 0

$\rho = 0$

— JohnK

Die gesamte Operation scheint grundlegend falsch zu sein. Der Teil "Skalen ändern" zerstört die Gleichmäßigkeit. Eine wirklich gleichmäßige Verteilung wird entweder als Grenzverteilung innerhalb enger (euklidischer) Puffer der Kurve erreicht oder ist durch die Bogenlänge gleichmäßig. In beiden Fällen ist die Normalisierungskonstante eine vollständige elliptische Funktion und wird möglicherweise nicht zu dem hier angegebenen Ausdruck vereinfacht. Ich bin nicht sicher, was und bedeuten, aber als Beispiel der Korrelationskoeffizient für eine Ellipse mit einer Hauptachse, die doppelt so groß ist wie die Nebenachse, die in einem Winkel von geneigt ist, .

h

$h$

H

$H$

π / 6

$\pi/6$

0.78004

$0.78004$

— whuber

@whuber Ich habe eine Figur aus dem Papier beigefügt, die erklärt, wofür und stehen. Ich hoffe, dass dies klarer wird.

h

$h$

H

$H$

— JohnK

Wenn Sie eine vollständige Antwort wünschen, finden Sie diese in meinem Beitrag unter stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Wenn die Ellipse ein Kreis ist, ist die Uniform (offensichtlich) kreisförmig symmetrisch, so dass fast alles in dieser Antwort direkt gilt. Insbesondere wenn die Ellipse nicht als Drehung einer horizontalen Ellipse, sondern als Schräglauftransformation betrachtet wird, wird die Formel für

offensichtlich, weil

ρ

$\rho$

(unter Verwendung der Notation im Abschnitt "Erstellen von Ellipsen").

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$

— whuber

Sei gleichmäßig im Inneren der Ellipse $(X,Y)$ wobeiunddie Halbachsen der Ellipse sind. Dann habenundRanddichten

\frac{x^{2}}{{ein}^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

Y

$Y$

und es ist leicht zu erkennen, dass

. Auch ist

\begin{aligned} f_{X.} (x) & = \frac{2}{π {ein}^{2}} \sqrt{{ein}^{2} - - x^{2}} 1_{- - ein, ein} (x), \\ f_{X.} (x) & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - - y^{2}} 1_{- - b, b} (y), \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$

undähnlicher Weise,

\begin{aligned} σ_{X.}^{2} = E. [{X.}^{2}]] & = \frac{2}{π {ein}^{2}} \int_{ein}^{ein} x^{2} \sqrt{{ein}^{2} - - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π {ein}^{2}} \int_{0}^{ein} x^{2} \sqrt{{ein}^{2} - - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π {ein}^{2}} \times {ein}^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ (3 /. 2) Γ (3 /. 2)}{Γ (3)} \\ = \frac{{ein}^{2}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$

. Schließlich

und

sindunkorrelierteZufallsvariablen.

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$

X

$X$

Y

$Y$

Lass

\begin{aligned} U. & = X. \cos θ - - Y. Sünde θ \\ V. & = X. Sünde θ + Y. \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$

(X, Y)

$(X,Y)$

(U, V)

$(U,V)$

u

$u$

v

$v$

U

$U$

V

$V$

\begin{aligned} σ_{U.}^{2} & = \frac{{ein}^{2} \cos^{2} θ + b^{2} {Sünde}^{2} θ}{4} \\ σ_{V.}^{2} & = \frac{{ein}^{2} {Sünde}^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$

cov (U., V.) = (σ_{X.}^{2} - - σ_{Y.}^{2}) Sünde θ \cos θ = \frac{{ein}^{2} - - b^{2}}{8} Sünde 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$

$(U,V)$

\frac{(u \cos θ + v Sünde θ)^{2}}{{ein}^{2}} + \frac{(- - u Sünde θ + v \cos θ)^{2}}{b^{2}} = 1,

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$

(\frac{\cos^{2} θ}{{ein}^{2}} + \frac{{Sünde}^{2} θ}{b^{2}}) u^{2} + (\frac{{Sünde}^{2} θ}{{ein}^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{b^{2}}) v^{2} + ((\frac{1}{{ein}^{2}} - - \frac{1}{b^{2}}) Sünde 2 θ) u v = 1,

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$

\begin{matrix} (1) & σ_{V.}^{2} \cdot u^{2} + σ_{U.}^{2} \cdot v^{2} - - 2 ρ_{U., V.} σ_{U.} σ_{V.} \cdot u v = \frac{{ein}^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$

u = 0

$u = 0$

(1)

$(1)$

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$

(1)

$(1)$

u

$u$

σ_{V.}^{2} \cdot 2 u + σ_{U.}^{2} \cdot 2 v \frac{d v}{d u} - - 2 ρ_{U., V.} σ_{U.} σ_{V.} \cdot (v + u \frac{d v}{d u}) = 0,

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$

(1)

$(1)$

(u, v)

$(u,v)$

ρ_{U., V.} σ_{U.} \cdot v = σ_{v} \cdot u .

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$

H

$H$

— Dilip Sarwate
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Das ist eine richtige orthogonale Rotationsmatrix, danke.

— JohnK