Konfidenzintervalle für ECDF

Die Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz-Ungleichung ist folgende:

$Pr(\text{sup}|\hat{F}_n(x)-F(x)|>\epsilon)\leq 2\exp(-2n\epsilon^2)$ ,

und es sagt voraus, wie nahe eine empirisch bestimmte Verteilungsfunktion an der Verteilungsfunktion sein wird, aus der die empirischen Proben gezogen werden. Mit dieser Ungleichung können wir Konfidenzintervalle (CIs) um (ECDF) zeichnen. Diese CIs sind jedoch in der Entfernung um jeden Punkt des ECDF gleich.$\hat{F}_n(x)$

Was ich mich frage, gibt es eine andere Möglichkeit, ein CI um das ECDF herum aufzubauen?

Wenn wir über geordnete Statistiken lesen, stellen wir fest, dass die asymptotische Verteilung der geordneten Statistik wie folgt ist:

Was bedeutet nun zunächst der Index mit diesen Symbolen?$np$

Hauptfrage: Können wir dieses Ergebnis zusammen mit der Delta-Methode (siehe unten) verwenden, um CIs für das ECDF bereitzustellen? Ich meine, der ECDF ist eine Funktion der geordneten Statistik, oder? Gleichzeitig ist das ECDF eine nicht parametrische Funktion. Ist dies also eine Sackgasse?

Wir wissen, dass und Var ( F n ( x ) ) = F ( x ) ( 1 - F ( x ) $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$$\text{Var}(\hat{F}_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}$

Ich hoffe, mir ist klar, was ich hier vorhabe, und ich freue mich über jede Hilfe.

BEARBEITEN :

Delta-Methode: Wenn Sie eine Folge von Zufallsvariablen erfüllt$X_n$

,

und und sind endlich, dann ist folgendes erfüllt:σ $\theta$$\sigma^2$

,

für jede Funktion g, die die Eigenschaft erfüllt, dass existiert, einen Wert ungleich Null hat und polynomiell mit der Zufallsvariablen begrenzt ist (Zitat Wikipedia)$g′(\theta)$

Ich sehe keine Möglichkeit, die Delta-Methode zu verwenden, aber ...

Wenn wir über die Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktion lesen, lesen wir, dass der zentrale Grenzwertsatz uns gibt:

$\sqrt{n}(\hat{F}_n(x)-F(x)) \rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

Wir können dies verwenden, um verschiedene CIs um jedes zu erstellen :$\hat{F}_n(x)$

$\hat{F}_n(x) \pm 1.96\frac{\hat{F}_n(x)(1-\hat{F}_n(x))}{n}$ ,

da , ist unsere beste Schätzung von .F n ( x ) F ( x $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$$\hat{F}_n(x)$$F(x)$

Verwenden Sie den folgenden R-Code:

#confidenc ebands calculation:
sim_norm<-rnorm(100)
plot(sim_norm)
hist(sim_norm)
sim_norm_sort<-sort(sim_norm)
n = sum(!is.na(sim_norm_sort))
plot(sim_norm_sort, (1:n)/n, type = 's', ylim = c(0, 1), 
     xlab = 'sample', ylab = '', main = 'Empirical Cumluative Distribution')

# Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality:
# P ( sup|F_n - F| > epsilon  ) leq 2*exp(-2n*epsilon^2)
# set alpha to 0.05 and alpha=2*exp(-2n*epsilon^2):
# --> epsilon_n = sqrt(-log(0.5*0.05)/(2*n))
#
#lower and upper bands:
L<-1:n
U<-1:n


  epsilon_i = sqrt(log(2/0.05)/(2*n))

  L=pmax(1:n/n-epsilon_i, 0)
  U=pmin(1:n/n+epsilon_i, 1)
  lines(sim_norm_sort, U, col="blue")
  lines(sim_norm_sort, L, col="blue")

#using clt:
U2=(1:n/n)+1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
L2=(1:n/n)-1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
lines(sim_norm_sort, L2, col="red")
lines(sim_norm_sort, U2, col="red")

Wir bekommen:

Wir sehen, dass die roten Bänder (nach der CLT-Methode) uns engere Konfidenzbänder geben.

EDIT : Wie @Kjetil B Halvorsen betonte - diese beiden Arten von Bands sind verschiedene Arten. Ich ließ @Glen_b genau erklären, was er meinte:

Sehr unterschiedliche Arten von Vertrauensbändern. Mit einem punktweisen Konfidenzband würden Sie eine Anzahl von Punkten außerhalb des Bandes erwarten, selbst wenn es die Verteilung wäre, aus der die Daten gezogen wurden. Mit simultanen Bands würdest du nicht. Wenn Sie ein 95% iges punktweises Band haben, liegen durchschnittlich 5% der Punkte für die korrekte Verteilung außerhalb der Bänder. Bei gleichzeitigen Bändern besteht eine Wahrscheinlichkeit von 5%, dass der Punkt mit der größten Abweichung außerhalb liegt.

Vielen Dank an beide!