Grenze von

Ich frage mich, ob das Limit: wobei die Schwanzverteilungsfunktion ist, , wobei die kumulative Verteilungsfunktion ist

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

Als $x \to \infty$ , $\overline{F} \to 0$ , also haben wir eine unbestimmte Form, schreibe ich wie folgt um:

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ und verwende die Regel von L'Hôpital :

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ aber dies erfordert die Kenntnis von

f

$f$ als

x \to \infty

$x \to \infty$ was ich nicht tue haben.

Wie bewerte ich diese Grenze?

probability cdf

— dimebucker91
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Sie sollten Ihre Annahmen klarstellen: Das behauptete Ergebnis ist im Allgemeinen nicht wahr (z. B. für Pareto), gilt jedoch, wenn

X

$X$ positiv ist

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ . Hinweis: Verwenden Sie

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ .

— Yves

@Solitary nitpicking ein wenig, aber der Zustand ist tatsächlich etwas schwächer, was Integrierbarkeit erfordert. Zum Beispiel kann man

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$ impliziert

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$ für alle

q

$q$ streng kleiner als

p

$p$ . Dies gilt jedoch nicht für

q = p

$q = p$ im Allgemeinen. Ich denke, die Dichte proportional zu

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$ für

x > 2

$x > 2$ gibt das Gegenbeispiel, aber ich gebe zu, dass ich die Mathematik nicht durchgeführt habe.

— Kerl

Dies wird in einem Artikel mit einem albernen Namen bewiesen , der Darth-Vader-Regel auf Seite 2. In diesem Artikel geht es nicht genau um Ihre Frage, aber sie beantworten Ihre Frage darin.

— RayVelcoro

Antworten:

Unter der Annahme, dass die Erwartung besteht und der Einfachheit halber, dass die Zufallsvariable eine Dichte hat (äquivalent dazu, dass sie in Bezug auf das Lebesgue-Maß absolut kontinuierlich ist), werden wir dies zeigen

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

Die Existenz der Erwartung impliziert, dass die Verteilung im Gegensatz zur Cauchy-Verteilung nicht sehr fettschwanzig ist.

Da die Erwartung besteht, haben wir das

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

und das ist immer gut definiert. Beachten Sie nun, dass für , $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

und aus diesen beiden folgt das

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

wie im Limit nähert sich der Term der Erwartung. Durch unsere Ungleichheit und die Nicht-Negativität des Integranden haben wir dann unser Ergebnis. $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

Hoffe das hilft.

— JohnK
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Vielen Dank (+1). Re Entspannen die Annahme: wenn zum Beispiel eine Cauchy - Verteilung ist, dann ist der Grenzwert von ist , nicht Null. Für Student Verteilungen mit einem Parameter kleiner als ( bezeichnet das Cauchy) ist diese Grenze unendlich.

F

$F$

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$

1 / π

$1/\pi$

t

$t$

1

$1$

1

$1$

— whuber

Für jede nicht - negativen Zufallsvariablen , wir haben (siehe (21.9) von Billingsley ‚s Probability und messen ): Für führt das Ersetzen von durch von zu $Y$

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$

M > 0

$M > 0$

Y

$Y$

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$

(*)

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

Angenommen, ist integrierbar (dh ), dann konvergiert die linke Seite von durch den dominierten Konvergenzsatz gegen als . Daraus folgt Daher folgt das Ergebnis. $X$ $E[|X|]< \infty$ $(**)$ $0$ $M \to \infty$

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$

Bemerkung: Dieser Beweis verwendet eine Maßtheorie, die meiner Meinung nach sinnvoll ist, da der Beweis, dass Dichten vorhanden sind, keine Mehrheitsklasse von Zufallsvariablen anspricht, beispielsweise diskrete Zufallsvariablen wie Binomial und Poisson.

— Zhanxiong
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Der Beweis erfordert nicht wirklich, dass integrierbar ist, sondern nur, dass für ein endliches , daher kann einen schweren linken Schwanz haben. Die Identität aus Billingsleys Buch wird sonst nicht wirklich benötigt, da für mit der Wahrscheinlichkeit eins gegen tendiert .

X

$X$

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$

x_{0}

$x_0$

X

$X$

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$

0

$0$

x \to \infty

$x \to \infty$

— Yves

@ Yves @ guy Ja, guter Punkt. Integrierbarkeit ist nur eine ausreichende Bedingung, aber niemals eine notwendige. Es könnte jedoch die prägnanteste und normalste Bedingung sein, die auferlegt wird, um die von OP angeforderte Beziehung abzuleiten.

— Zhanxiong

OK. Prägnante Alternative: .

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$

— Yves

@ Yves natürlich :)

— Zhanxiong