t-Verteilung mit schwererem Schwanz als Normalverteilung

In meinen Vorlesungsunterlagen heißt es:

Die T-Verteilung sieht normal aus, allerdings mit etwas schwereren Schwänzen.

Ich verstehe, warum es normal aussehen würde (aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes). Es fällt mir jedoch schwer zu verstehen, wie ich mathematisch beweisen kann, dass es schwerere Schwänze als die Normalverteilung hat und ob es eine Möglichkeit gibt, zu messen, inwieweit es schwerer als die Normalverteilung ist.

Das erste, was zu tun ist, ist zu formalisieren, was wir unter "schwererem Schwanz" verstehen. Man könnte sich fiktiv ansehen, wie hoch die Dichte im extremen Schwanz ist, nachdem beide Verteilungen so standardisiert wurden, dass sie dieselbe Position und denselben Maßstab haben (z. B. Standardabweichung):

(aus dieser Antwort, die auch für Ihre Frage etwas relevant ist )

[In diesem Fall spielt die Skalierung am Ende keine Rolle. Das t ist immer noch "schwerer" als das normale, selbst wenn Sie sehr unterschiedliche Skalen verwenden. das normale geht irgendwann immer niedriger]

Diese Definition verallgemeinert sich jedoch nicht sehr gut, obwohl sie für diesen speziellen Vergleich in Ordnung ist.

Ganz allgemein ist die Antwort von whuber hier viel besser definiert . Wenn also schwerer als , da ausreichend groß wird (für alle einige ), dann ist , wobei , wobei das cdf ist (für schwerer) -schwanz auf der rechten Seite; es gibt eine ähnliche, offensichtliche Definition auf der anderen Seite).$Y$$X$$t$$t>$$t_0$$S_Y(t)>S_X(t)$$S=1-F$$F$

Hier ist es auf der logarithmischen Skala und auf der Quantilskala der Normalen, was uns erlaubt, mehr Details zu sehen:

Der "Beweis" für eine stärkere Schwanzigkeit würde also den Vergleich von cdfs beinhalten und zeigen, dass der obere Schwanz des t-cdf schließlich immer über dem des Normalen und der untere Schwanz des t-cdf schließlich immer unter dem des Normalen liegt.

In diesem Fall ist es einfach, die Dichten zu vergleichen und dann zu zeigen, dass sich daraus die entsprechende relative Position der cdfs (/ Survivor-Funktionen) ergeben muss.

Also zum Beispiel, wenn Sie das argumentieren können (bei einem bestimmten )$\nu$

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

für die notwendige Konstante (eine Funktion von ), für alle einige , wäre es möglich, einen schwereren Schwanz für auch für die Definition in Bezug auf größeres (oder größeres on) festzulegen der linke Schwanz).$k$$\nu$$x>$$x_0$$t_\nu$$1-F$$F$

$^\dagger$ (diese Form ergibt sich aus der Differenz des Logarithmus der Dichten, wenn dies die notwendige Beziehung zwischen den Dichten enthält)

[Es ist tatsächlich möglich, es für jedes zu zeigen (nicht nur für dasjenige, das wir aus den relevanten Dichtennormalisierungskonstanten benötigen), daher muss das Ergebnis für das wir benötigen.]$k$$k$

Eine Möglichkeit, den Unterschied zu erkennen, ist die Verwendung der Momente$E\{x^n\}.$

"Schwerere" Schwänze bedeuten höhere Werte für die gleichmäßigen Leistungsmomente (Leistung 4, 6, 8), wenn die Varianz gleich ist. Insbesondere wird das Moment 4. Ordnung (um Null) als Kurtosis bezeichnet und vergleicht in gewissem Sinne die Schwere der Schwänze.

Siehe Wikipedia für Details ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )

Hier ist ein formaler Beweis, der auf den Überlebensfunktionen basiert. Ich verwende die folgende Definition von "schwerer Schwanz", inspiriert von Wikipedia :

Eine Zufallsvariable mit der Überlebensfunktion hat schwerere Schwänze als eine Zufallsvariable mit der Überlebensfunktion iff $Y$$S_y(t)$$X$$S_x(t)$

$$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$$

Betrachten Sie eine Zufallsvariable die als Student's t mit dem Mittelwert Null, den Freiheitsgraden und dem Skalenparameter . Wir vergleichen dies mit der Zufallsvariablen . Für beide Variablen sind die Überlebensfunktionen differenzierbar. Deshalb, $Y$$\nu$$a$$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$$ Wo wir . Beachten Sie, dass eine Konstante ist, und Nach dem algebraischen Grenzwertsatz ist $u=t^2/a^2$$0<a^2/\sigma^2<\infty$$\lim_{u\to\infty} C/u = 0$ $$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$$ $$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$$

Wichtig ist, dass das Ergebnis für beliebige (endliche) Werte von , und , sodass Sie Situationen haben können, in denen die Verteilung eine geringere Varianz als normal aufweist, aber immer noch schwerere Schwänze aufweist.$a$$\sigma^2$$\nu$