Ich habe in einem erweiterten Dickey-Fuller-Test mehrmals gesehen, wie Leute die Null zurückweisen und dann behaupten, dass ihre Reihen stationär sind (leider kann ich die Quellen dieser Behauptungen nicht zeigen, aber ich stelle mir vor, dass es hier und da ähnliche Behauptungen gibt die eine oder andere Zeitschrift).

Ich behaupte, dass es ein Missverständnis ist (diese Zurückweisung der Nullstelle einer Einheitswurzel ist nicht unbedingt dasselbe wie eine stationäre Reihe, zumal alternative Formen der Nichtstationarität selten untersucht oder sogar in Betracht gezogen werden, wenn solche Tests durchgeführt werden).

Was ich suche, ist entweder:

a) Ein schönes klares Gegenbeispiel zu der Behauptung (ich kann mir gerade ein Paar vorstellen, aber ich wette, dass jemand anders als ich etwas Besseres haben wird, als ich vorhabe). Es könnte eine Beschreibung einer bestimmten Situation sein, möglicherweise mit Daten (simuliert oder real; beide haben ihre Vorteile); oder

b) ein überzeugendes Argument , warum die Ablehnung in einem Augmented Dickey-Fuller sollte als Einrichtung Stationarität zu sehen

(oder sogar beide (a) und (b), wenn Sie sich schlau fühlen)

Hier ist ein Beispiel für eine instationäre Serie, die selbst ein Test auf weißes Rauschen nicht erkennen kann (geschweige denn ein Dickey-Fuller-Test):

Ja, das mag überraschen, aber das ist kein weißes Rauschen .

Die meisten nicht stationären Zähler basieren auf einer Verletzung der ersten beiden Bedingungen des stationären: deterministische Trends (nicht konstanter Mittelwert) oder Einheitswurzel / heteroskedastische Zeitreihen (nicht konstante Varianz). Sie können jedoch auch instationäre Prozesse mit konstantem Mittelwert und konstanter Varianz haben, die jedoch die dritte Bedingung verletzen: Die Autokovarianzfunktion (ACVF) sollte über die Zeit konstant sein und eine Funktion von | s - t | nur.$cov(x_s, x_t)$$|s-t|$

Die obige Zeitreihe ist ein Beispiel für eine solche Reihe, bei der die Einheitsvarianz im Mittel Null ist, die ACVF jedoch von der Zeit abhängt. Genauer gesagt, ist das Verfahren über ein lokal stationären MA (1) -Prozess mit Parametern , so dass es wird unechtes weißes Rauschen (siehe Referenzen unten): Der Parameter des MA - Prozess Veränderungen über Zeit$x_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}$

Dabei ist die normalisierte Zeit. Der Grund, warum dies wie weißes Rauschen aussieht (obwohl es mathematisch gesehen eindeutig nicht so ist), ist, dass die zeitlich variierende ACVF mit der Zeit auf Null abfällt. Da die ACVF der Stichprobe zur durchschnittlichen ACVF konvergiert, bedeutet dies, dass die Autokovarianz der Stichprobe (und die Autokorrelation (ACF)) zu einer Funktion konvergiert, die wie weißes Rauschen aussieht. Selbst ein Ljung-Box-Test kann diese Nichtstationarität nicht erkennen. Der Artikel (Haftungsausschluss: Ich bin der Autor) über das Testen auf weißes Rauschen anhand lokal stationärer Alternativen schlägt eine Erweiterung der Box-Tests vor, um solche lokal stationären Prozesse zu behandeln.$u = t/ T$

Für mehr R-Code und mehr Details siehe auch diesen Blog-Beitrag .

Update nach mpiktas Kommentar :

Es ist wahr, dass dies wie ein theoretisch interessanter Fall aussehen könnte, der in der Praxis nicht gesehen wird. Ich bin damit einverstanden, dass es unwahrscheinlich ist, dass ein solches störendes weißes Rauschen direkt in einem Datensatz der realen Welt auftritt, aber Sie werden dies bei fast allen Residuen einer stationären Modellanpassung feststellen. Stellen Sie sich ein allgemeines zeitvariables Modell mit einer zeitvariablen Kovarianzfunktion γ θ ( k , u ) vor, ohne auf zu viele theoretische Details einzugehen . Wenn Sie eine Konstante Modell passen θ , dann wird diese Schätzung sein nahe dem zeitlichen Mittelwert des wahren Modells θ ( u ) ; und natürlich werden die Residuen jetzt in der Nähe von sein$\theta(u)$$\gamma_{\theta}(k, u)$$\widehat{\theta}$$\theta(u)$ , die durchBau von θ auf Null integrieren geführt (ungefähr). Siehe Goerg (2012) für Details.$\theta(u) - \widehat{\theta}$$\widehat{\theta}$

Schauen wir uns ein Beispiel an

library(fracdiff)
library(data.table)

tree.ring <- ts(fread(file.path(data.path, "tree-rings.txt"))[, V1])
layout(matrix(1:4, ncol = 2))
plot(tree.ring)
acf(tree.ring)
mod.arfima <- fracdiff(tree.ring)
mod.arfima$d


## [1] 0.236507

Also wir fraktionierte Rauschen mit dem Parameter passen d = 0,23 (da d < 0,5 wir denken , alles in Ordnung ist , und wir haben ein stationäres Modell). Lassen Sie uns die Residuen überprüfen:$\widehat{d} = 0.23$$\widehat{d} < 0.5$

arfima.res <- diffseries(tree.ring, mod.arfima$d)
plot(arfima.res)
acf(arfima.res)

Sieht gut aus, oder? Nun, das Problem ist, dass die Residuen störendes weißes Rauschen sind . Wie soll ich wissen? Zuerst kann ich es testen

Box.test(arfima.res, type = "Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 1.8757, df = 1, p-value = 0.1708

Box.test.ls(arfima.res, K = 4, type = "Ljung-Box")
## 
##  LS Ljung-Box test; Number of windows = 4; non-overlapping window
##  size = 497
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 39.361, df = 4, p-value = 5.867e-08

und zweitens wissen wir aus der Literatur, dass es sich bei den Baumringdaten tatsächlich um lokal stationäres gebrochenes Rauschen handelt: siehe Goerg (2012) und Ferreira, Olea und Palma (2013) .

Dies zeigt, dass mein - zugegebenermaßen - theoretisch wirkendes Beispiel tatsächlich in den meisten Beispielen der realen Welt vorkommt.

Beispiel 1

Es ist bekannt, dass Unit-Root-Prozesse mit einer stark negativen MA-Komponente zu ADF-Tests führen, deren empirische Größe weit über der nominalen liegt (z. B. Schwert, JBES 1989 ).

Das heißt, wenn

Unten finden Sie ein Beispiel für den ADF-Test, den Sie erwähnt haben. [Schwert simuliert, dass mit weniger extremen MA-Strukturen viel extremere empirische Größen erzeugt werden könnten, wenn man sich die Koeffizientenstatistik ansieht$T(\hat\rho-1)$ oder den Phillips-Perron-Test, siehe seine Tabellen 5-10.]

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  y <- cumsum(arima.sim(n = n, list(ma = -0.98)))
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift", selectlags="Fixed",lags=12*(n/100)^.25))@teststat[1] < -2.89)
}
mean(rejections)

Beispiel 2

Prozesse, die zurückgesetzt werden, aber nicht stationär sind. Beispielsweise,$Y_t$Dies könnte ein AR (1) -Prozess mit einem AR-Koeffizienten von weniger als einem absoluten Wert sein, jedoch mit einem Innovationsprozess, dessen Varianz sich zu einem bestimmten Zeitpunkt permanent ändert ("bedingungslose Heteroskedastizität"). Der Prozess hat dann keine Einheitswurzel, ist aber auch nicht stationär, da sich seine bedingungslose Verteilung mit der Zeit ändert.

Abhängig von der Art der Varianzänderung wird der ADF-Test weiterhin häufig zurückgewiesen. In meinem Beispiel unten haben wir eine Varianzunterbrechung nach unten, die den Test "glauben" lässt, dass die Reihe konvergiert, was zu einer Zurückweisung der Null einer Einheitswurzel führt.

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  u_1 <- rnorm(n/2,sd=5)
  u_2 <- rnorm(n/2,sd=1)
  u <- c(u_1,u_2)
  y <- arima.sim(n=n,list(ar = 0.8),innov=u)
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift"))@teststat[1] < -2.89)      
}
mean(rejections)

(Abgesehen davon "verliert" der ADF-Test seine zentrale asymptotische Nullverteilung bei bedingungsloser Heteroskedastizität.)

Unit-Root-Tests sind bekanntermaßen schwierig. Die Verwendung eines Tests ist normalerweise nicht ausreichend und Sie müssen sehr vorsichtig mit den genauen Annahmen sein, die der Test verwendet.

Die Art und Weise, wie der ADF aufgebaut ist, macht ihn anfällig für eine Reihe von einfachen nichtlinearen Trends mit zusätzlichem weißem Rauschen. Hier ist ein Beispiel:

library(dplyr)
library(tseries)
set.seed(1000)
oo <- 1:1000  %>% lapply(function(n)adf.test(exp(seq(0, 2, by = 0.01)) + rnorm(201)))
pp <- oo %>% sapply("[[","p.value")

> sum(pp < 0.05)
[1] 680

Hier haben wir den exponentiellen Trend und wir sehen, dass ADF ziemlich schlecht abschneidet. Es akzeptiert in 30% der Fälle den Nullwert der Einheitswurzel und lehnt ihn in 70% der Fälle ab.

Normalerweise ist das Ergebnis einer Analyse nicht zu behaupten, dass die Serie stationär ist oder nicht. Wenn die in der Analyse verwendeten Methoden Stationarität erfordern, manifestiert sich die falsche Annahme, dass die Serie stationär ist, wenn dies tatsächlich nicht der Fall ist, normalerweise auf die eine oder andere Weise. Ich persönlich sehe mir also die gesamte Analyse an, nicht nur den Teil zum Testen der Einheitswurzel. Zum Beispiel funktionieren OLS und NLS gut für nicht stationäre Daten, bei denen die Nichtstationarität im Mittel ist, dh im Trend. Wenn also jemand fälschlicherweise behauptet, dass die Serie stationär ist und OLS / NLS anwendet, ist diese Behauptung möglicherweise nicht relevant.