Interpretation des Gesamtgesetzes der Kovarianz

Sei Zufallsvariablen, die im gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind, und sei die Kovarianz von und endlich, dann lautet das Gesetz der Formel für die totale Kovarianz / Kovarianz-Zerlegung: Was ist die Interpretation von \ text {(i)} und \ text {(ii)} ?X Y Cov ( X , Y ) = E [ Cov ( X , Y | Z ) ] i (i) + Cov [ E ( X | Z ) , E ( Y | Z ) ] ⏟ (ii) (i) $X,Y,Z$$X$$Y$

$$\begin{align} \text{Cov}(X,Y)=\underbrace{\mathbb{E}\big[\text{Cov}(X,Y\lvert Z)\big]}_{\text{(i)}}+\underbrace{\text{Cov}\big[\mathbb{E}(X\lvert Z),\mathbb{E}(Y\lvert Z)\big]}_{\text{(ii)}} \end{align}$$ $\text{(i)}$$\text{(ii)}$

Meine Gedanken: In (ii) können die beiden bedingten Erwartungen als Zufallsvariablen selbst angesehen werden. Ich weiß auch, dass dies eine Verallgemeinerung des Gesetzes der Gesamtvarianz / Varianzzerlegungsformel ist, die durch Setzen von X = Y gezeigt werden kann $X=Y$, wobei die Interpretation ist dann die einer Variation in $Y$ , die durch Z erklärt $Z$und durch $Z$ . Aber wie lautet die korrekte Interpretation in der obigen Kovarianzformel für (i) und (ii)? Wikipedia bietet eine kurze Beschreibung, die nicht sehr zufriedenstellend ist.

Der erste Term (i): $E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$

Stellen Sie sich \ operatorname {cov} (X, Y)$\operatorname{cov}(X,Y)$ als Funktion von $Z$ . Wenn Sie verschiedene Werte von $Z$ , erhalten Sie entsprechend einen Wert für $\operatorname{cov}(X,Y)$ . Die Erwartung einfach den Durchschnitt dieser unterschiedlichen Kovarianzen in Bezug auf $Z$ .

Der zweite Term (ii): $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Stellen Sie sich und als Funktionen von . Wenn Sie verschiedene Werte von , erhalten Sie entsprechend einen Wert von und einen Wert von , die gleichzeitig realisiert werden. Daher erhalten Sie für jeden Wert von eine -Koordinate. Dieser Begriff ist einfach die Kovarianz all dieser Koordinatenpunkte.E [ Y | Z ] Z Z E [ X | Z ] E [ Y | Z ] Z ( X , Y $E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$Z$$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$(X, Y)$

Eine andere mögliche Interpretation in einem hierarchischen Rahmen ist einfach eine Zerlegung der gesamten Kovarianz in zwei Begriffe:$\operatorname{cov}(X,Y)$

1. die Gruppe ( ) und$E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$
2. zwischen Gruppe$\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Kovarianzen. Der erste Term repräsentiert in diesem Beispiel den Durchschnitt der für jede Gruppe bewerteten Kovarianzen von und , während der zweite Term die Kovarianz der Gruppenmittelwerte für und .Y X $X$$Y$$X$$Y$