Invarianz der Korrelation zur linearen Transformation:

Dies ist tatsächlich eines der Probleme in Gujaratis 4. Ausgabe von Basic Econometrics (Q3.11) und besagt, dass der Korrelationskoeffizient in Bezug auf die Änderung von Ursprung und Maßstab, dh unveränderlich ist. wobei , , , beliebige Konstanten sind.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Meine Hauptfrage lautet jedoch: Sei und gepaarte Beobachtungen und nehme an, dass und positiv korreliert sind, dh . Ich weiß, dass aufgrund der Intuition negativ wäre. Wenn wir jedoch , folgt $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$ was keinen Sinn ergibt.

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Ich würde mich freuen, wenn jemand auf die Lücke hinweisen kann. Vielen Dank.

— Daniel
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a c > 0

$ac>0$

@Glen_b Ja, ich denke, das Buch gibt es falsch an, es sei denn, ich bin blind, da ich keine Bedingungen sehe, die den Konstanten auferlegt werden.

— Daniel

Es kann sein, dass die Skala als positive Größe verstanden wird.

— Xi'an

@ Xi'an Es könnte sein, aber ich glaube nicht, dass es im Buch steht. Aber vielen Dank für die Bearbeitung und die Antwort übrigens :)

— Daniel

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Xi'an
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