Eine diskrete Zufallsvariable halbieren?

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Sei eine diskrete Zufallsvariable, die ihre Werte in annimmt . Ich möchte diese Variable halbieren , dh eine Zufallsvariable wie zum Beispiel: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X. = Y. + {Y.}^{*}

$X = Y + Y^*$

wobei eine unabhängige Kopie von . $Y^*$ $Y$

Ich bezeichne diesen Prozess als Halbierung ; Dies ist eine erfundene Terminologie. Gibt es in der Literatur einen geeigneten Begriff für diese Operation?
Es scheint mir, dass ein solches immer nur existiert, wenn wir negative Wahrscheinlichkeiten akzeptieren. Bin ich in meiner Beobachtung richtig? $Y$
Gibt es eine Vorstellung von der besten positiven Passform für ? Aka die Zufallsvariable, die am "nächsten" wäre, um die obige Gleichung zu lösen. $Y$

Vielen Dank!

random-variable

— Joannes Vermorel
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In den Fällen, in denen Sie nicht genau "halbieren" können, gibt es mehrere mögliche Definitionen von "am nächsten". es hängt davon ab, was Sie optimieren möchten.

— Glen_b -Reinstate Monica

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Ein Begriff, der stark mit dieser Eigenschaft zusammenhängt (wenn er schwächer ist), ist die Zersetzbarkeit . Ein zerlegbares Gesetz ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als Verteilung einer Summe von zwei (oder mehr) nicht trivialen unabhängigen Zufallsvariablen dargestellt werden kann. (Und ein nicht zusammensetzbares Gesetz kann nicht so geschrieben werden. Das "oder mehr" ist definitiv irrelevant.) Eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Zerlegbarkeit ist, dass die charakteristische Funktion das Produkt ist von zwei (oder mehr) charakteristischen Funktionen.

ψ (t) = E. [\exp {ich t X.}}]]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Ich weiß nicht, ob die Eigenschaft, die Sie betrachten, bereits einen Namen in der Wahrscheinlichkeitstheorie hat oder nicht, möglicherweise verbunden mit unendlicher Teilbarkeit . Dies ist eine viel stärkere Eigenschaft von , die jedoch diese Eigenschaft enthält: Alle unendlich teilbaren RV erfüllen diese Zerlegung. $X$

Eine notwendige und ausreichende Bedingung für diese "primäre Teilbarkeit" ist, dass die Wurzel der charakteristischen Funktion wieder eine charakteristische Funktion ist.

ψ (t) = E. [\exp {ich t X.}}]]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Bei Verteilungen mit ganzzahliger Unterstützung ist dies selten der Fall, da die charakteristische Funktion in ein Polynom ist . Beispielsweise ist eine Bernoulli-Zufallsvariable nicht zerlegbar. $\exp\{it\}$

Wie auf der Wikipedia-Seite zur Zersetzbarkeit ausgeführt , gibt es auch absolut kontinuierliche Verteilungen, die nicht zersetzbar sind, wie die mit der Dichte

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- - x^{2} /. 2}}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Für den Fall, dass die charakteristische Funktion von reellwertig ist, kann der Satz von Polya verwendet werden: $X$

Pólyas Satz. Wenn φ eine reelle, gerade, stetige Funktion ist, die die Bedingungen erfüllt
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
dann ist φ die charakteristische Funktion einer absolut kontinuierlichen symmetrischen Verteilung.

Denn in diesem Fall wieder reellwertige. Daher eine ausreichende Bedingung für $\varphi^{1/2}$ die primäre Teilbarkeit von ist daher, dass φ wurzelkonvex ist. Sie gilt jedoch nur für symmetrische Verteilungen und ist daher weitaus eingeschränkter alsbeispielsweise der Satz von Böchner. $X$

— Xi'an
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Es gibt einige Sonderfälle, in denen dies zutrifft, jedoch für einen beliebigen Fall diskrete Zufallsvariable ist Ihre "Halbierung" nicht möglich.

$(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
$(2n,p)$
$(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Dilip Sarwate
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+1 Ich erinnere mich, dass die diskrete Uniform ein besonderer Fall ist, in dem dies nicht möglich ist (ich glaube, es gibt zahlreiche andere, aber ich habe sie mir angesehen).

— Glen_b -Rate State Monica

In der Tat ist eine gleichmäßige Verteilung zerlegbar, aber im obigen Sinne nicht teilbar.

— Xi'an

2

Die Poisson-Verteilung ist ein Beispiel für eine unendlich teilbare Verteilung und kann daher in eine Summe einer beliebigen Anzahl von iid-Variablen unterteilt werden.

— Xi'an

-1

Das Problem scheint mir, dass Sie nach einer "unabhängigen Kopie" fragen, sonst könnten Sie einfach mit multiplizieren $\frac{1}{2}$ ? Anstatt eine Kopie zu schreiben (eine Kopie ist immer abhängig), sollten Sie vielleicht "zwei unabhängige, aber identisch verteilte Zufallsvariablen" schreiben.

Um Ihre Fragen zu beantworten,

$X$ $X$
$Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
Ich habe keine gesehen, und ich kann mir nicht vorstellen, wie ich eine solche beste Passform formalisieren kann . Normalerweise werden Annäherungen an Zufallsvariablen durch eine Norm im Raum von Zufallsvariablen gemessen. Ich kann mir keine Annäherungen von Zufallsvariablen durch oder an nicht zufällige Variablen vorstellen.

Ich hoffe ich konnte helfen.

— mattd
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