X, Y univariate Zufallsvariable mit : Sind sie unabhängig?

Sei und univariate Zufallsvariablen mit CDF so dass: wobei , sind bekannte Funktionen. $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ $F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Frage : Stimmt es, dass und unabhängige Wohnmobile sind? $X$ $Y$

Kann mir jemand ein paar Tipps geben?

Ich habe versucht: aber ich weiß nicht warum (oder ob) .

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$

random-variable joint-distribution

— Guilherme Salomé
quelle

Gilt die Beziehung für alle und oder nur für ein bestimmtes ?

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

— Dilip Sarwate

Auch ist die CDF?

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

— Vimal

Versuchen Sie zu fragen, ob das Wissen, wie die Verteilungsfunktion einer bivariaten Zufallsvariablen in ein Produkt von Funktionen von und getrennt zerlegt werden kann, ausreicht, um zu dem Schluss zu kommen, dass und unabhängig sind?

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Entschuldigung für die Verwirrung, ich werde die Frage jetzt bearbeiten. ist die CDF und die Eigenschaft gilt für alle .

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— Guilherme Salomé

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ muss nicht wahr sein. Betrachten Sie und und betrachten Sie, dass aber beide und kann kein Limit von 1 haben.

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish

Ja, es stimmt, dass diese Annahmen implizieren, dass und unabhängig sind. $X$ $Y$

Vereinfachen Sie die Notation, indem Sie schreiben . Per Definition, $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

Daher existiert die Grenze von wenn ohne Grenze zunimmt, und ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht überschreitet : $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

Wahl eines , für die zeigt ist ungleich Null. (Ein solches muss nach dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit existieren, das .) $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

für alle . Vertauschen der Rollen von und und Verwenden der analogen Notation, $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

für alle . Nehmen Sie die gemeinsame Grenze, da sowohl als auch ohne gebundene Shows wachsen $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

Deshalb

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

Demonstration von und sind unabhängig. $X$ $Y$

— whuber
quelle

Das Merkwürdige ist, dass und beide negativ bewertete Funktionen sein können, beispielsweise mit und und alles wird immer noch OK trainieren.

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: Es ist nicht sehr merkwürdig, dass, wenn die Beziehung erfüllt, auch , so dass Sie sicher annehmen können, dass sowohl als auch positiv bewertet sind. Wenn die Beziehung erfüllt, gilt dies auch für für jedes .

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— Xi'an

@ Xi'an Ich verstehe sehr gut. Ich wollte nur betonen (da sich das OP fragte, wie man zeigen kann, dass den Grenzwert als was bedeutet, dass er und ), dass die Faktorisierung impliziert, dass und unabhängig sind, ohne dass es notwendigerweise wahr ist, dass für alle ; für alle funktioniert genauso gut.

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate

@Dilip Das könnte sogar komplexe Werte haben, wenn Sie :-).

G_{i}

$G_i$

— whuber

@ KiranK. Die gestellte Frage lautet: "Wenn eine gemeinsame CDF ausgedrückt werden kann als , sind dann und unabhängig? " worauf die Antwort Ja lautet, und es erfordert ein wenig Arbeit, um dies zu zeigen. Es wird nicht behauptet, dass und gültige CDFs sind; Wenn Sie darauf bestehen, diese Behauptung aufzunehmen, lautet die Antwort trivial Ja, da eine der Definitionen des unabhängigen Wohnmobils darin besteht, dass die gemeinsame CDF in das Produkt der marginalen CDFs einfließt.

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— Dilip Sarwate