Wie ist die Determinante von

Ich arbeite an einem Problem (und habe tatsächlich die Antwort), aber ich weiß nicht, warum dies die Antwort ist. Kann jemand diese Gleichheit erklären? Es hat mit der Determinante der partitionierten Matrix zu tun $(X'X).$

Lassen

X = [x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k - 1}, x_{k}] = [W, x_{k}]

$X=[x_0, x_1, \ldots,x_{k-1},x_k]=[W,x_k]$ und lass

rank (X) = k + 1

$\operatorname{rank}(X)=k+1$

a.) zeigen das $|X'X|=|W'W|(x_k'x_k-x_k'W(W'W)^{-1}W'x_k)$

was durch die partitionierte Matrix ziemlich offensichtlich ist

(X^{'} X) = (W, x_{k})^{'} (W, x_{k})

$(X'X)=(W,x_k)'(W,x_k)$ welches eine Determinante gleich hat

| W^{'} W | (x_{k}^{'} x_{k} - x_{k}^{'} W (W^{'} W)^{- 1} W^{'} x_{k})

$|W'W|(x_k'x_k-x_k'W(W'W)^{-1}W'x_k)$

b obwohl ist schwieriger.

b.) von a ableiten $|W'W|/|X'X|>1/x_k'x_k$ Verwenden Sie dies, um dies im üblichen linearen Modell zu zeigen $y=X\beta + \epsilon, \operatorname{Var}(\widehat{\beta}_k)\geq\sigma^2(x_k,x_k)$

Mit den folgenden Informationen kann ich dieses Problem lösen, aber warum gilt die unten stehende Gleichheit?

Der Teil, den ich unterstrichen habe, war nur eine Selbstverständlichkeit und ich bin mir nicht sicher, was der Deal damit ist. Kann mir jemand erklären, wie Determinante und Varianz so miteinander verbunden sind?

— Joel Sinofsky
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Dies ist ein Ergebnis der Verwendung der Cramer-Regel zur Berechnung der Umkehrung von $\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X}$ .

Beachten Sie, dass die Matrix $(\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X})^{-1}$ ist die Kovarianzmatrix der Parameter $\beta_i$ . Damit

Var (β_{1}) = (X^{'} Σ^{- 1} X)_{1, 1}^{- 1}

$\text{Var}(\beta_1) = (\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X})^{-1}_{1,1}$ Das erste Element in der obigen Matrix ist die Varianz dieses Parameters

β_{1}

$\beta_1$ . Um diesen Wert zu berechnen, können wir nun die Cramer-Regel verwenden. Verwenden der Cramer-Regel, um die Umkehrung einer Matrix zu finden

A

$A$ wir haben

A^{- 1} = \frac{1}{det (A)} Adj (A)

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)}\text{Adj}(A)$ In diesem Fall

A = X^{'} Σ^{- 1} X

$A=\mathbf{X}^{\prime}\Sigma^{-1}\mathbf{X}$ und das Element, in dem wir suchen

Adj (A)

$\text{Adj}(A)$ ist

| F |

$|F|$ .

Die Cramer-Regel ist eine sehr ineffektive Methode zur Berechnung einer Inversen im Vergleich zu Standardmethoden. Diese Regel tritt normalerweise in Situationen wie diesen auf, in denen man einen Ausdruck für ein bestimmtes Element in der Umkehrung benötigt.

— Gumeo
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