Satz unkorrelierter, aber linear abhängiger Variablen

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Ist es möglich, eine Reihe von Variablen zu haben, die nicht korreliert, aber linear abhängig sind? $K$

dh und $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Wenn ja, können Sie ein Beispiel schreiben?

EDIT: Aus den Antworten folgt, dass es nicht möglich ist.

Wäre es zumindest möglich, dass wobei der geschätzte Korrelationskoeffizient ist, aus dem geschätzt wird Abtastwerte der Variablen und ist eine Variable, die nicht mit . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Ich denke so etwas wie $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
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Wie die Antwort von @ RUser4512 zeigt, können unkorrelierte Zufallsvariablen nicht linear abhängig sein. Aber fast unkorreliertheit können linear abhängig sein, und ein Beispiel davon ist etwas lieber an das Herz des Statistikers.

Angenommen, ist eine Menge von unkorrelierten Zufallsvariablen mit Einheitsvarianz und gemeinsamem Mittelwert . Definiere wobei $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ . Dann sind dieZufallsvariablen mit dem Mittelwert Null, so dass , das heißt, sie sind linear abhängig. Nun ist $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$ so dass

{Y.}_{ich} = \frac{K. - - 1}{K.} {X.}_{ich} - - \frac{1}{K.} \sum_{j \neq ich} {X.}_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

während

var ({Y.}_{ich}) = {(\frac{K. - - 1}{K.})}^{2} + \frac{K. - - 1}{{K.}^{2}} = \frac{K. - - 1}{K.}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

zeigtdass die

sindfastunkorreliertheit mit Korrelationskoeffizienten

cov ({Y.}_{ich}, {Y.}_{j}) = - - 2 (\frac{K. - - 1}{K.}) \frac{1}{K.} + \frac{K. - - 2}{{K.}^{2}} = \frac{- - 1}{K.}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$

.

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Siehe auch meine frühere Antwort .

— Dilip Sarwate
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Dies ist ein wirklich schönes Beispiel!

— RUser4512

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Nein.

$a_i$ $a_1=1$

$K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

$K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
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\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

Sehr gute Antwort. Es wäre schön, wenn Sie auch die bearbeitete Frage beantworten könnten.

— Donbeo

v

$v$

x_{K}

$x_K$

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

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$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

— Karl Ove Hufthammer
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