Was ist die mathematische Definition von Orts- / Skalen- / Formparametern?

Ich versuche , die genaue Definition der Position / Skala / Formparameter zu verstehen (zB der Formparameter genannt wird und ist Skalenparameter in Pareto Typ I). Die Bücher, auf die ich mich bezog ( das Cambridge Dictionary of Statistics , HMCs Einführung in die mathematische Statistik , Fellers Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen usw.), lieferten jedoch nur (scheinbar) beschreibende Definitionen für diese Parameter (Standortparameter werden in Fellers Zentrierungsparameter genannt ). Wikipedia lieferte Definitionen in Bezug auf cdf und pdf, jedoch ohne Angabe von Quellen. $a$ $c$

Basierend auf den Konzepten in der nichtparametrischen Statistik (z. B. Kapitel 10 der HMC) vermute ich, dass die Parameter für Ort, Maßstab und Form wie folgt definiert werden können:

Sei eine Zufallsvariable mit cdf . Ein Parameter , wobei eine Funktion ist, ist ein , wenn und es ist ein Skalierungsparameter, wenn und es ist ein Formparameter, wenn es sich weder um Position noch um Skalierung handelt. $X$ $F_X$ $\theta=T(F_X)$ $T$
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$

Hab ich recht? Oder habe ich einige nicht verwandte Konzepte verwechselt?

mathematical-statistics nonparametric definition

— Francis
quelle

Meine Intuition ist, dass die Existenz einer solchen Funktion bis zu einer Parametrisierung der Parameter einzigartig ist. Ich bin mir nicht sicher, ob es solche Funktionen immer gibt, und sie sind nicht unbedingt linear. Ich denke auch, dass die zweite Eigenschaft für den Standortparameter nicht benötigt wird.

— Gumeo

@ Guðmundur Wenn die zweite Eigenschaft eines Ortsparameters nicht davon ausgegangen , und ist ein funktioneller die erste Eigenschaft erfüllt, dann für jeden realen , (gemäß der Definition für alle Verteilungen erfüllt ) auch die erste Eigenschaft, von der nicht eindeutig wäre.

T

$T$

b

$b$

T + b

$T + b$

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$

F

$F$

T

$T$

— whuber

@whuber Ich habe das verpasst ... Ich stimme dir zu.

— Gumeo

@whuber Aber sollte einzigartig sein? Zum Beispiel für die symmetrische Verteilung ist Mittelwert und Median, die unterschiedliche Funktionale sind.

T

$T$

μ

$\mu$

— Francis

@Francis Auf der Menge der symmetrischen Verteilungen, für die sowohl der Mittelwert als auch der Median definiert sind, stimmen sie überein, sodass sie als dieselbe Funktion betrachtet werden können. Trotzdem denke ich, dass Sie zu Recht die Implikation in Frage stellen, dass Standortparameter eindeutig sein sollten - sie müssen es nicht sein.

— whuber

Es ist oft richtig, dass diese dem ersten, zweiten und dritten Moment entsprechen (eine Funktion davon), wie von @ GuðmundurEinarsson festgestellt. Es gibt jedoch Ausnahmen: Zum Beispiel nennen Evans, Hastings und Peacock (2000) für eine Cauchy-Verteilung den ersten Parameter einen Standortparameter, aber er repräsentiert den Median anstelle des Mittelwerts. Der Mittelwert ist nicht einmal für eine Cauchy-Verteilung definiert.

Eine umfassendere, aber weniger genaue Beschreibung wäre:

Der Standortparameter verschiebt die gesamte Verteilung nach links oder rechts
Der Skalierungsparameter komprimiert oder streckt die gesamte Verteilung
Der Formparameter ändert die Form der Verteilung auf andere Weise.

Merran Evans, Nicholas Hastings und Brian Peacock (2000) Statistical Distributions , dritte Auflage. Wiley.

— Maarten Buis
quelle

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$ Ich vermute, dass auf diese Weise Standortparameter für die Cauchy-Verteilung definiert werden (das meinen Sie mit Gauchy, oder?).

— Francis

Mein Fehler: Gauchy hätte eigentlich Cauchy sein sollen. Ich habe die Antwort bearbeitet, um sie zu beheben.

— Maarten Buis

@ Maarten Sie möchten vielleicht Ihre Antwort ändern, ich habe meine gelöscht, um keine weitere Verwirrung zu stiften.

— Gumeo