Wird die Tatsache, dass mein italienischer Sohn eine Grundschule besuchen wird, die erwartete Anzahl italienischer Kinder ändern, die in seiner Klasse anwesend sein werden?

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Dies ist eine Frage, die aus einer realen Situation stammt, für die ich ernsthaft über ihre Antwort verblüfft bin.

Mein Sohn soll in London in die Grundschule gehen. Da wir Italiener sind, war ich gespannt, wie viele italienische Kinder bereits die Schule besuchen. Ich habe dies der Zulassungsbehörde bei der Bewerbung mitgeteilt und sie hat mir mitgeteilt, dass sie durchschnittlich 2 italienische Kinder pro Klasse (30) haben.

Ich bin jetzt zu dem Zeitpunkt, zu dem ich weiß, dass mein Kind aufgenommen wurde, aber ich habe keine weiteren Informationen über die anderen Kinder. Die Zulassungskriterien basieren auf der Distanz, aber für die Beantwortung dieser Frage können wir davon ausgehen, dass sie auf einer zufälligen Zuordnung einer großen Auswahl von Bewerbern basiert.

Wie viele italienische Kinder werden voraussichtlich in der Klasse meines Sohnes sein? Wird es näher an 2 oder 3 sein?

probability self-study average

— user90213
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Das erinnert mich an den alten Witz: "Ich trage immer eine Bombe, wenn ich reise, denn wie stehen die Chancen, dass zwei Leute eine Bombe im selben Flugzeug haben?"

— Bill the Lizard

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Dass der Admission Officer Ihnen mitteilte, dass sie durchschnittlich 2 italienische Kinder pro Klasse haben, macht diese Daten für mich „verdächtig“. Wenn es sich um eine echte Berechnung gehandelt hätte, hätten Sie eine nicht-runde Zahl erwartet. Es ist also möglich, dass der wahre Wert beispielsweise 1,51 oder 2,49 beträgt. Da der Zulassungsbeauftragte mit größerer Wahrscheinlichkeit versucht, Ihnen mit seiner Antwort zu gefallen, hat er möglicherweise eher auf- als abgerundet (wenn er geglaubt hätte, dass Sie Ihr Kind gerne unter anderen Italienern haben würden), was die Wahrscheinlichkeit nahe legt Eine Verteilung über Werte nahe 2 wäre nicht symmetrisch. Die unten stehenden Antworten können angepasst werden.

— PatrickT

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@PatrickT "Mode" ist ein gültiger Durchschnittstyp.

— Ian Ringrose

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Vielen Dank, dass ihr geantwortet habt. Ich habe jetzt auch eine ähnliche Frage gepostet, jedoch mit einem anderen Rahmen ( stats.stackexchange.com/questions/173969/… ), der durch einige Ihrer Eingaben / Antworten ausgelöst wurde.

— user90213

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@PatrickT Ich denke, dass es viel mehr schlecht ausgebildete Leute gibt, die mit 1.5 verwirrt wären ("Wie hast du ein halbes Kind?"), Als Nerds, die sich über exzessive Rundungen ärgern, für mich wahrscheinlicher erscheinen. (Vorausgesetzt, die genauere Zahl ist ohnehin nicht 1,9 oder 2,1.)

— Dan Neely

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Wie immer müssen Sie ein probabilistisches Modell berücksichtigen, das beschreibt, wie die Schule die Kinder auf die Klassen verteilt. Möglichkeiten:

Die Schule achtet darauf, dass alle Klassen die gleiche Anzahl von Ausländern haben.
Die Schule versucht sogar sicherzustellen, dass jede Nationalität in jeder Klasse ungefähr gleich vertreten ist.
Die Schule berücksichtigt überhaupt nicht die Nationalität und verteilt nur nach dem Zufallsprinzip oder nach anderen Kriterien.

All dies ist vernünftig. Angesichts der Strategie 2 lautet die Antwort auf Ihre Frage Nein. Wenn sie Strategie 3 verwenden, liegt die Erwartung nahe bei 3, ist jedoch etwas geringer. Das liegt daran, dass Ihr Sohn einen "Slot" einnimmt und Sie eine Chance weniger für einen zufälligen Italiener haben.

Wenn die Schule Strategie 1 einsetzt, steigen auch die Erwartungen. Wie viel hängt von der Anzahl der Ausländer pro Klasse ab.

Ohne Ihre Schule zu kennen, gibt es keine Möglichkeit, dies perfekter zu beantworten. Wenn Sie nur eine Klasse pro Jahr haben und die Zulassungskriterien wie beschrieben sind, ist die Antwort dieselbe wie für 3 oben.

Berechnung für 3 im Detail:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X ist die Anzahl der italienischen Kinder in der Klasse. Die 1 stammt von dem bekannten Kind, die 29 sind der Rest der Klasse und 2/30 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein unbekanntes Kind aufgrund der Aussagen der Schule italienisch ist. B ist die Binomialverteilung.

Beachten Sie, dass das mit nicht die richtige Antwort liefert, da das Wissen, dass ein bestimmtes Kind italienisch ist, die von der Binomialverteilung angenommene Austauschbarkeit verletzt. Vergleichen Sie dies mit dem Jungen- oder Mädchen-Paradoxon , bei dem es einen Unterschied macht, ob Sie wissen, dass ein Kind ein Mädchen ist, oder ob Sie wissen, dass das ältere Kind ein Mädchen ist. $E(X|X\geq1)$

— Erik
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2

Nehmen wir die Binomialannahme an und lassen Sie . Es scheint, dass die Wahl zwischen und von den Annahmen abhängen kann. Wenn ich zum Beispiel annehme, dass ein italienischer Vater in London höchstwahrscheinlich so verwirrt ist wie @ user90213 und dann hier eine Frage stellt, ändert das nicht viel an meinen Erwartungen, wenn ich diese eine Frage sehe. Ich habe nur gelernt, dass ein Kind italienisch ist und berechnet . Ist es das, was Sie "Austauschbarkeit" genannt haben? Wenn andererseits user90213 mein enger Freund ist und ich seinen Sohn kenne, dann würde ich auf Ihre Antwort eingehen.

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— Amöbe sagt Reinstate Monica

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@amoeba Zu wissen, dass in einer bestimmten Schule und in einer bestimmten Klasse das Kind von user90213 vorhanden ist, reicht aus, um ihn von den anderen zu unterscheiden. Es hängt nicht davon ab, wie speziell Ihre Beziehung zu user90213 ist. Aber es ist schwierig, wie Sie die Informationen lernen. Wenn Sie beispielsweise per E-Mail gefragt werden, ob das älteste italienische Kind in einer Klasse Sie namentlich kontaktieren und eine Antwort erhalten soll, würden Sie den Ansatz wählen, auch wenn Sie das Kind anschließend unterscheiden können. Versuchen Sie, nach dem Girl-Boy-Paradox zu googeln, oder stellen Sie dafür eine allgemeinere Frage. Es wird viel darüber diskutiert.

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— Erik

Das stimmt, danke Erik. Was ich im vorherigen Kommentar gemeint habe, ist ähnlich wie in Ihrem E-Mail-Beispiel. Wenn ich davon ausgehe, dass alle italienischen Eltern einer Klasse hier eine Frage stellen, dann ist dies genau so, als würde man vom ältesten italienischen Kind kontaktiert. Es scheint, dass wir uns im Allgemeinen einig sind, +1. Der Wiki-Link ist in der Tat interessant.

— Amöbe sagt Reinstate Monica

(+1) Aber verwirrt, warum Sie sagen "Wenn Sie nur eine Klasse pro Jahr haben [...]".

— Scortchi

@Scortchi Wenn die Schule nur eine Klasse pro Jahr hat, kann sie die beiden Strategien 1 und 2 anwenden, da jedes Kind, das in diesem Jahr an der Schule aufgenommen wird, in der gleichen Klasse endet.

— Erik

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Ein anderer Weg, dies zu sehen, ist auf der Ebene der einzelnen Kinder. Unter der Annahme, dass 30 Kinder zufällig aus einer Population gezogen wurden (was Sie angedeutet haben), können wir auf die grobe Wahrscheinlichkeit ein italienisches Kind aus dieser Population gezogen wird: = . $2/30$ $1/15$

Da wir wissen, dass einer der 30 Italiener ist, müssen wir nur die Wahrscheinlichkeit für die verbleibenden Kinder berechnen:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

Wenn Sie also wissen, dass Ihr Kind Italiener ist, ändert sich die erwartete Anzahl italienischer Kinder in der Klasse auf ungefähr 2,933, was viel näher an 3 als an 2 liegt.

— Thomas Cleberg
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5

Hier sind meine Gedanken, wie ich das angehen soll:

Die Zufallsvariable bezeichne die Anzahl der italienischen Kinder in einer Klasse, die momentan die Größe . Sei der Indikator dafür, dass ein neues Kind Italiener ist. Angenommen, wir fügen dieser Klasse Kind . Dann wird die erwartete Anzahl der italienischen Kinder in dieser Augmented Klasse der Größe ist . Beachten Sie, dass Unabhängigkeit hier keine Rolle spielt, da wir nur die Linearität der Erwartung verwenden. Wenn bekannt ist, dass das Kind italienisch ist, ist mit der Wahrscheinlichkeit 1, sodass wir den erwarteten Wert um 1 erhöht haben. $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— jld
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1

Also gibt es Kinder in dieser Klasse nach dem Hinzufügen des italienischen Kindes?

n + 1

$n+1$

— Scortchi

Ja. Gibt es etwas, das mir fehlt?

— Jld

1

Kommt darauf an, wie du die Frage liest. Angenommen, der Unterricht besteht aus genau 30 Kindern.

— Scortchi

1

Vielleicht habe ich die Frage falsch verstanden. Ich dachte, es würde gefragt, wie die Hinzufügung eines bekannten italienischen Kindes die Erwartungen verändert.

— Jld

1

Das ist ein sehr guter Punkt,

— wenn es

1

Basierend auf den Informationen der Zulassungsstelle folgt die Anzahl der italienischen Kinder unter der Annahme der Unabhängigkeit dem Binomial . Jetzt wissen Sie in Ihrer Klasse, dass es mindestens ein italienisches Kind gibt, sodass die Erwartung zu . Für von (wenn ich meine Berechnung richtig durchführe). $\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

Bearbeiten. Bewertung der Erwartung:

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(Beachten Sie die Änderung der Summenuntergrenze im letzten Schritt)

— jf328
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1

Können Sie die bedingte Erwartung näher erläutern?

— Antoni Parellada

3

Ihre Antwort ist falsch. Der richtige Weg, dies zu berechnen, wäre 1 (das bekannte Kind) + E (B (29, 2/30)), was sich als 2,9333 herausstellt. Und die Annahme einer Binomialverteilung ist fraglich.

— Erik

Noch etwas möchte ich darauf hinweisen: a) Ihre Berechnung der bedingten Erwartung ist falsch. Aber b) was noch wichtiger ist, es ist falsch, mit Ihrer bedingten Erwartung zu beginnen. Zu wissen, dass es sich bei einem bestimmten Kind um Italiener handelt, unterbricht die Austauschbarkeit, die von der Binormalverteilung angenommen wird. Es ist dem Boy-Girl-Paradoxon ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) sehr ähnlich, bei dem es einen Unterschied macht, ob Sie wissen, dass das ältere Kind ein Mädchen ist oder ob Sie wissen, dass eines der beiden Kinder ein Mädchen ist.

— Erik

Scratch Kommentar a) von oben. Aber b) ist sowieso ernster;)

— Erik

Genau. Für OP ist die Verteilung nicht länger binomial (30, 2/30), sondern tatsächlich 1 + binomial (29, 2/30)

— jf328

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Nein. Ihre Kenntnis der bevorstehenden Ereignisse ändert nichts an der typischen Erfahrung der Schule.

— Mart
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2

-1. Dies ist falsch, wie in anderen Antworten und Kommentaren hier ausführlich erläutert.

— Amöbe sagt Reinstate Monica

meinen Mangel an fortgeschrittener Mathematik vergeben, aber was macht Kind dies Herrenset nicht einer der ‚typisch 2‘ Kinder zu sein .. so dass wir näher an 3. enden?

— Mart

Siehe stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— Amöbe sagt Reinstate Monica

Mart: Stell dir vor, ich werfe zehnmal eine Münze und zähle die Köpfe. nichts Seltsames an der Münze oder der Art, wie ich sie wegwerfe. Ich wiederhole dieses Experiment viele Male und sehe im Durchschnitt fast genau 5 Köpfe in zehn Würfen. Welche Ergebnisse Sie sehen (insgesamt 1000 Würfe, von denen 50,3% Köpfe waren, liegen innerhalb der erwarteten Schwankung für ein faires Münzwurfverfahren; wir sind uns einig, dass der Prozess zumindest praktisch fair erscheint). Jetzt mache ich das Experiment noch einmal mit dir und du siehst, dass die ersten 4 Würfe alle Köpfe sind. Was ist die erwartete Anzahl von Köpfen in dem vollständigen Satz von zehn Würfen? 5? Mehr?

— Glen_b

Beachten Sie, dass nach Ihrem früheren Argument die ersten vier "vier der erwarteten fünf" gewesen sein könnten. Aber dann würden Sie sagen, dass es bei den nächsten sechs Würfen weniger als 50% Chance gibt (in der Tat sagen Sie, dass es im Durchschnitt nur eine 1/6 Chance gibt). Woher sollte die Münze wissen, dass sie seltener auftaucht?

— Glen_b