Wie ist die Verteilung für das Maximum (Minimum) von zwei unabhängigen normalen Zufallsvariablen?

Angenommen, und Y sind normale Zufallsvariablen (unabhängig, aber nicht unbedingt identisch verteilt). Gibt es bei einem bestimmten a eine schöne Formel für P (\ max (X, Y) \ leq x) oder ähnliche Konzepte? Wissen wir, dass \ max (X, Y) normalverteilt ist, vielleicht eine Formel für Mittelwert und Standardabweichung in Bezug auf die für X und Y ? Ich habe die üblichen Orte (Wikipedia, Google) überprüft, aber nichts gefunden.$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

Das Maximum von zwei nicht identischen Normalen kann als Azzalini-Skew-Normalverteilung ausgedrückt werden. Siehe zum Beispiel ein Arbeitspapier / eine Präsentation von Balakrishnan aus dem Jahr 2007

Ein verzerrter Blick auf die bivariate und multivariate Ordnungsstatistik
Prof. N. Balakrishnan
Arbeitspapier / Präsentation (2007)

Ein kürzlich veröffentlichter Artikel von ( Nadarajah und Kotz - hier zu sehen ) gibt einige Eigenschaften von max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. und Kotz, S. (2008), "Exakte Verteilung der Max / Min von zwei Gaußschen Zufallsvariablen", IEEE-TRANSAKTIONEN AUF SEHR GROSSEN INTEGRATIONSSYSTEMEN (VLSI), VOL. 16, NO. 2. FEBRUAR 2008

Für frühere Arbeiten siehe:

AP Basu und JK Ghosh, "Identifizierbarkeit der multinormalen und anderen Verteilungen unter konkurrierenden Risikomodellen", J. Multivariate Anal., Vol. 8, S. 413–429, 1978

HN Nagaraja und NR Mohan, „Zur Unabhängigkeit der Systemlebensdauerverteilung und der Fehlerursache“, Scandinavian Actuarial J., S. 188–198, 1982.

YL Tong, die multivariate Normalverteilung. New York: Springer-Verlag, 1990.

Man kann auch ein Computeralgebrasystem verwenden, um die Berechnung zu automatisieren. Zum Beispiel gegeben mit pdf und mit pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... das pdf von ist:$Z = max(X,Y)$

Dabei verwende ich die MaximumFunktion aus dem mathStatica- Paket von Mathematica und Erfbezeichne die Fehlerfunktion.

Ich bin überrascht, dass in den vorherigen Antworten die interessanteste Eigenschaft nicht erwähnt wird: Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Maximum ist das Produkt der jeweiligen kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.