Kartenspiel: Wenn ich zufällig vier Karten ziehe und du sechs ziehst, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine höchste Karte höher ist als deine höchste?

Sagen Sie, wie im Titel angegeben, wenn ich zufällig 4 Karten ziehe und Sie 6 aus demselben Stapel ziehen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine höchste Karte Ihre höchste Karte schlägt?

Wie wird sich das ändern, wenn wir aus verschiedenen Decks ziehen?

Vielen Dank!

probability maximum

— Wudanao
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Ist das eine Hausarbeit?

— Aksakal

Diese einfache Frage hat eine komplizierte Antwort. Die Komplikationen sind auf zwei Faktoren zurückzuführen:

Die Karten werden ersatzlos gezogen. (Jede Ziehung ändert daher den Inhalt des Decks, der für nachfolgende Ziehungen verfügbar ist.)
Ein Stapel hat normalerweise mehrere Karten mit jedem Wert, so dass die höchstmögliche Karte unentschieden bleibt.

Da Komplikationen unvermeidlich sind, gehen wir auf eine einigermaßen breite Verallgemeinerung dieses Problems ein und betrachten dann Sonderfälle. In der Verallgemeinerung besteht ein "Deck" aus einer endlichen Anzahl von Karten. Die Karten haben verschiedene "Werte", die vom niedrigsten bis zum höchsten eingestuft werden können. Es sei der Werte, die (mit $m$ $n_i \ge 1$ $i$ der niedrigste und der höchste). Ein Spieler zieht Karten vom Stapel und ein zweiter Spieler zieht $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ Karten. Was ist die Chance, dass die höchste Karte in der Hand des ersten Spielers einen streng höheren Wert hat als die höchste Karte in der Hand des zweiten Spielers? Lassen Sie dieses Ereignis heißen : ein "Gewinn" für den ersten Spieler. $W$

Eine Möglichkeit, dies herauszufinden, besteht darin, dass das Verfahren dem Ziehen von Karten vom Stapel entspricht, wobei das erste von den Karten des ersten Spielers und das verbleibende die Karten des zweiten Spielers sind. Unter diesen Karten sei der höchste Wert und sei $a+b$ $a$ $b$ $j$ die Anzahl der Karten mit diesem Wert. Der erste Spieler gewinnt nur, wenn er alle dieser Karten besitzt. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie diese bestimmten Karten unter Kartegefunden werden können,ist $k \ge 1$ $k$ $a$ , während die Anzahl der Möglichkeiten zum Positionieren dieserKarten unter allen, die gezogen wurden, $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ . $\binom{a+b}{k}$

Nun ist die Chance, dass der höchste Wert ist und es solcher Karten gibt, die Chance, aus Karten mit dem Wert auszuwählen und das verbleibende aus den niedrigeren auszuwählen Werte. Weil es gibt $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ Unentschieden derKarten, lautet die Antwort $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(In diesem Ausdruck wird und jeder Binomialkoeffizient, dessen oberer Wert kleiner als sein unterer Wert ist oder dessen unterer Wert negativ ist, als Null angenommen.) Es handelt sich um eine relativ effiziente Berechnung, deren Zeit proportional zur Anzahl von ist Karten im Deck. Da es sich ausschließlich um Binomialkoeffizienten handelt, sind asymptotische Näherungen für große Werte von und . $N_0=0$ $a$ $b$

In einigen Fällen möchten Sie möglicherweise die Definition eines "Gewinns" ändern. Dies ist leicht zu bewerkstelligen: Durch Vertauschen der Werte von und berechnet dieselbe Formel die Chance, dass der zweite Spieler auf Anhieb gewinnt. Der Unterschied zwischen und der Summe dieser beiden Chancen ist die Chance auf ein Unentschieden. Sie können den Spielern diese Chance auf ein Unentschieden in einem beliebigen Verhältnis zuweisen. $a$ $b$ $1$

In vielen herkömmlichen Kartenspielen ist und für . Betrachten wir daher ein beliebiges Deck, in dem alle den gleichen Wert haben, sagen wir . In diesem Fall ist $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ und die vorstehende Formel vereinfacht etwas $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Zum Beispiel mit und in einem gemeinsamen Kartenstapel 52 von 13 Reihen, und , $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ . Eine Simulation von 100.000 Spielen dieses Spielseine Schätzung von, was auf fast drei signifikante Zahlen genau ist und sich nicht wesentlich von der Formel unterscheidet. $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

R $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

Die Ausgabe in dieser Instanz ist

Geschätzter Pr (a gewinnt) = 0,3132 +/- 0,00464

— whuber
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gute Antwort! Darf ich fragen, was Sie denken, wenn jeder Spieler aus einem anderen Deck zieht? Wird dies die Antwort ändern?

— Wudanao

Yes, it will change the answer because what one person draws will be independent of what the other player draws. In some ways that is an easier question, because the answer is a straightforward calculation of the chance that one random variable exceeds the value of another that is independent of it.

— whuber

Note that, if there weren't any ties, the answer would trivially be

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$ : out of the

a + b

$a+b$ cards drawn, one must be highest, and its chance of ending up in the first player's hand is

a

$a$ out of

a + b

$a+b$ . But as you note, the presence of multiple cards with the same value in the deck complicates things.

— Ilmari Karonen

@Ilmari That's right. (And it's this insight that originally suggested the solution I presented.) With no ties,

n_{i} = 1

$n_i=1$ always, the sum of

k

$k$ goes away, and the fraction

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$ factors out, showing how the general formula reduces to this simple one.

— whuber

@WernerCD True, but that effect has been explained: if the suits have a ranking, then there are no ties, and so the formula reduces to what limari's comment describes.

— Brilliand