Erwarteter Wert von x in einer Normalverteilung, GEGEBEN, dass er unter einem bestimmten Wert liegt

Ich frage mich nur, ob es möglich ist, den erwarteten Wert von x zu finden, wenn er normalverteilt ist, da dieser unter einem bestimmten Wert liegt (z. B. unter dem Mittelwert).

normal-distribution conditional-probability expected-value

— Jasmin
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Es ist natürlich möglich. Zumindest könnte man durch rohe Kraft

berechnen

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$ . Oder wenn Sie

μ

$\mu$ und

σ

$\sigma$ Sie es mithilfe einer Simulation schätzen.

— Dsaxton

@dsaxton Es gibt einige Tippfehler in dieser Formel, aber wir bekommen die Idee. Ich bin gespannt, wie genau Sie die Simulation ausführen würden, wenn der Schwellenwert weit unter dem Mittelwert liegt.

— whuber

@whuber Ja,

F (t)

$F(t)$ sollte

F (x)

$F(x)$ . Es wäre nicht sehr klug, eine Simulation durchzuführen , wenn

F (x)

$F(x)$ nahe Null ist, aber wie Sie betont haben, gibt es sowieso eine genaue Formel.

— Dsaxton

@ Dsaxton OK, fair genug. Ich hatte nur gehofft, Sie hätten eine clevere und einfache Idee, um vom Ende einer Normalverteilung aus zu simulieren.

— whuber

Mehr oder weniger die gleiche Frage in Math.SE: math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK

Antworten:

Eine normalverteilte Variable $X$ mit dem Mittelwert $\mu$ und der Varianz $\sigma^2$ hat die gleiche Verteilung wie $\sigma Z + \mu$ wobei $Z$ eine Standardnormalvariable ist. Alles was Sie über wissen müssen, $Z$ ist das

seine kumulative Verteilungsfunktion heißt $\Phi$ ,
es hat eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$ , und das
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ .

Die ersten beiden Aufzählungszeichen sind nur Notation und Definitionen: Das dritte ist die einzige spezielle Eigenschaft von Normalverteilungen, die wir benötigen.

Lassen Sie den „bestimmten Wert“ sein . Im Vorgriff auf die Änderung von zu definieren $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

damit

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

Beginnend mit der Definition der bedingten Erwartung können wir dann ihre Linearität ausnutzen, um zu erhalten

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

Der Fundamentalsatz des Kalküls besagt, dass jedes Integral einer Ableitung durch Auswertung der Funktion an den Endpunkten gefunden wird: . Dies gilt für beide Integrale. Da sowohl als auch bei verschwinden müssen , erhalten wir $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

Dies ist der ursprüngliche Mittelwert abzüglich eines Korrekturterms, der proportional zum Inverse Mills Ratio ist .

Wie zu erwarten ist, muss das inverse Mills-Verhältnis für positiv sein und überschreiten (dessen Grafik mit einer gepunkteten roten Linie dargestellt ist). Es muss auf sinken, wenn groß wird, denn dann ändert die Kürzung bei (oder ) fast nichts. Wenn sehr negativ wird, muss sich das inverse Mills-Verhältnis annähern da die Schwänze der Normalverteilung so schnell abnehmen, dass fast die gesamte Wahrscheinlichkeit im linken Schwanz nahe seiner rechten Seite (bei ) konzentriert ist. $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

Wenn schließlich im Mittelwert liegt, ist wobei das inverse Mills-Verhältnis gleich $T = \mu$ $t=0$ . Dies impliziert, dass der erwartete Wert von, der im Mittel abgeschnitten ist (was das Negative einerhalben Normalverteilung ist), $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ fache Standardabweichung unter dem ursprünglichen Mittelwert. $-\sqrt{2/\pi}$

— whuber
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Im Allgemeinen soll die Verteilungsfunktion . $X$ $F(X)$

Wir haben für , $x\in[c_1,c_2]$ Sie können Sonderfälle erhalten, indem Sie zum Beispiel, wasergibt.

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | c_{1} \leq X \leq c_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap c_{1} \leq X \leq c_{2})}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} = \frac{P (c_{1} \leq X \leq x)}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (c_{1})}{F (c_{2}) - F (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

Mit bedingten cdfs erhalten Sie möglicherweise bedingte Dichten (z. B. für ), die für bedingte Erwartungen verwendet werden können. $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x ϕ (x) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— Christoph Hanck
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+1 (irgendwie habe ich das verpasst, als es zum ersten Mal erschien). Der erste Teil ist eine hervorragende Darstellung, wie man abgeschnittene Verteilungsfunktionen erhält, und der zweite Teil zeigt, wie man ihre PDFs berechnet.

— whuber