Wie kann man testen, ob sich eine Kovarianzmatrix über zwei Zeitpunkte geändert hat?

Meine Aufgabe ist es zu testen, ob sich die Kovarianzmatrix von 6 Variablen ändert. Werte von 6 Variablen werden zweimal von denselben Probanden gemessen (3 Jahre zwischen den Messungen).

Wie kann ich das machen? Ich habe den größten Teil meiner Arbeit mit SAS gemacht.

Angenommen, Ihre Verteilungen sind multivariate Normalverteilungen (da die Tests für Kovarianzmatrizen sowieso davon ausgehen), lautet Ihre Nullhypothese, dass sich die beiden Populationen nur durch Verschiebung unterscheiden. Sie können dies mit einem Kolmogorov-Smirnov-Test an den beiden Datengruppen testen, von denen ihre Mittelwerte abgezogen wurden.

Rencher (2002) (Abschnitt 7.3.2) liefert die Likelihood-Ratio-Teststatistik für den Vergleich zweier Matrizen (Box-M-Test) wie folgt:

$S_1$$S_2$$S_p$$\nu_1$$\nu_2$$-2\log M$$\chi^2$$p(p+1)/2$$p$$F$-Annäherung. Dies ist jedoch eher ein Test mit zwei Stichproben als der Test mit wiederholten Messungen, weshalb er möglicherweise etwas konservativ ist.

Sie könnten eine Software zur Modellierung von Strukturgleichungen verwenden. Dies ist eine Skizze, wie der Prozess in Amos funktionieren könnte:

• Addiere alle Variablen für Zeit 1 ($X1, ..., X_6$) und Zeit 2 ($Y_1, ..., Y_6$)
• Zeichnen Sie doppelköpfige Pfeile zwischen allen Variablen (dh Sie lassen die Software wissen, dass alle Varianzen und Kovarianzen frei variieren können, und daher sollte Ihr Modell Daten perfekt darstellen).
• Nennen Sie alle Varianzen und Kovarianzen
• Das Obige ist Modell 1 (dh keine Gleichheitsbeschränkungen)
• Fügen Sie dann Gleichheitserklärungen zu Modell 2 hinzu (dh Varianzen und Kovarianzen sind eingeschränkt).
  • Gleiche Varianzen für entsprechende Variablen zu verschiedenen Zeitpunkten: zB var_x1 = var_y1 var_x2 = var_y2und so weiter
  • gleiche Kovarianzen für entsprechende Zeitpunkte: zB cov_x1_x2 = cov_y1_y2 cov_x1_x3 = cov_y1_y3und so weiter
• Untersuchen Sie den Unterschied in der Passform zwischen den beiden Modellen
  • Modell 2 ist in Modell 1 verschachtelt, daher sollten Sie in der Lage sein, Vergleichstests für verschachtelte Modelle wie Chi-Quadrat-Differenztests zu verwenden.

Dies kann wahrscheinlich mit proc mixed getestet werden (naja man muss multivariate Normalität annehmen). Stapeln Sie alle Daten in einer Spalte. Sie benötigen dann Indikatoren für die Betreff-ID und für den Zeitpunkt. Sie müssen sowohl die Betreff-ID als auch den Zeitpunkt als Klassenvariablen definieren. Passen Sie ein Intercept Only-Modell an. Verwenden Sie dann möglicherweise eine wiederholte Anweisung, um eine uneingeschränkte Varianz / Kovarianz-Struktur anzupassen ( type=un). Schreiben Sie die$-2\ln(\mathcal{L})$ wo $\mathcal{L}$ist die Wahrscheinlichkeit) und die Freiheitsgrade. Passen Sie dann ein zweites Modell an. Verwenden Sie diesmal in der wiederholten Anweisung die group=Option, um SASseparate Kovarianzstrukturen für jeden Zeitpunkt anzupassen (dh jeder Zeitpunkt ist eine Gruppe). Schreiben Sie die$-2\ln(\mathcal{L})$und df. Führen Sie dann den LRT-Test ohne Anpassungsunterschied aus, indem Sie den Unterschied zwischen -2 loglikelihoods und dfs zwischen den beiden Modellen verwenden, der unter der Nullhypothese ohne Anpassungsunterschied zwischen den beiden Modellen im Chi-Quadrat verteilt werden sollte.