Läufe des gleichen Typs innerhalb eines Kartenspiels - Verteilung von Läufen unterschiedlicher Länge

Mein Hintergrund liegt in der Physik, nicht in der Statistik. Verzeihen Sie daher jede verdächtige Terminologie oder Notation, aber ich hoffe, dass das Problem im Folgenden klar dargelegt ist. Zweitens sind meine Statistiken nicht gut genug, um zu erkennen, ob dieses Problem an anderer Stelle auf der Website gestellt wurde. Bitte nehmen Sie Kontakt mit mir auf.

Angenommen, wir haben N Objekte. Ein fester Anteil 'p' ist vom Typ A, und ein Anteil 'q' ist vom Typ B und diese sind unterscheidbar. Objekte sind entweder A oder B, aber nicht beide, sodass sich die Klassen gegenseitig ausschließen.

Objekte können keinen anderen Typ haben und p + q = 1.
Sowohl p als auch q sind ungleich Null und kleiner als Eins.

Die Objekte werden nach einer vereinbarten Methode randomisiert, so dass sie eine Folge von N Objekten bilden. Dies könnte gleichbedeutend sein mit dem Mischen eines Kartenspiels, von dem ein Anteil p rot und ein Anteil q schwarz ist.

Ein Lauf der Länge 'c' ist definiert als eine Folge von 'c'-Objekten eines bestimmten Typs, die entweder durch Objekte des unterschiedlichen Typs oder durch die beiden Grenzen der Folge begrenzt sind. Zum Beispiel könnte ein Lauf von zwei A ein Lauf von zwei A sein, der durch B begrenzt ist. Oder wenn die Sequenz AAB… startet, bilden die ersten beiden Objekte einen Lauf der Größe 2.

Sei 'n (c)' die Anzahl der Läufe der Größe 'c' innerhalb der Sammlung.

Frage: Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von n (c) in einer randomisierten Sammlung von Objekten?

Mit anderen Worten (wenn ich das richtig verstanden habe), wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten für ein solches Deck mit 0, 1, 2, 3 usw. Läufen jeder möglichen Größe, c?

Was sind daraus ...

der erwartete Wert von n (c)
die Varianz von n (c)

Ich habe Hinweise auf Läufe innerhalb von Münzwürfen gesehen, aber ich denke, dieses Problem ist insofern anders, als der Gesamtanteil jeder Art von Ergebnis hier festgelegt ist, während dies nicht beim Werfen einer Münze der Fall ist. Ich habe auch die anderen Antworten auf Läufe innerhalb eines Decks notiert, aber diese berücksichtigen im Allgemeinen Läufe beliebiger Länge und nicht die Verteilung von Läufen unterschiedlicher Länge.

probability stochastic-processes runs

— Simon
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Sei eine Indikatorvariable, so dass: $I_i^c$

I_{i}^{c} = {\begin{cases} 1 & run of length c starts at i^{t h} position, \\ 0 & otherwise \end{cases}

$I_i^c = \begin{cases} 1 & \text{run of length $c$ starts at $i^{th}$ position}, \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Um wobei einen Lauf der Länge wir einfach diese Identität (Damit ein Lauf die Länge hat, muss er bei oder vor Position: Somit ist $\mathbb{E}[R_c]$ $R_c$ $c$ $c$ $({n-c+1})^{th}$

R_{c} = \sum_{i = 1}^{i = n - c + 1} I_{i}

$R_c = \sum_{i=1}^{i=n-c+1} I_i$

E [R_{c}] = E [\sum_{i = 1}^{i = n - c + 1} I_{i}] = \sum_{i = 1}^{i = n - c + 1} P (I_{i}^{c} = 1)

$\mathbb{E}[R_c] = \mathbb{E}[\sum_{i=1}^{i=n-c+1}I_i] = \sum_{i=1}^{i=n-c+1} \mathbb{P}(I_i^c=1)$

Betrachten Sie nun das Ereignis . Wenn , beginnt der Lauf an Position 1. Es kann oder und daher die Die Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch: $I_i^c=1$ $i=1$ $\underbrace{AAAAA\dots}_\text{c times}B$ $\underbrace{BBBBB\dots}_\text{c times}A$

P (I_{1}^{c} = 1) = p^{c} \times q + q^{c} \times p

$\mathbb{P}(I_1^c=1) = p^c\times q + q^c\times p$

Ähnlich wird für , $i=n-c+1$

P. ({ich}_{n - - c + 1}^{c} = 1) = p^{c} \times q + q^{c} \times p

$\mathbb{P}(I_{n-c+1}^c=1) = p^c\times q + q^c\times p$

Und für , $2 \leq i \leq n-c$

P. ({ich}_{ich}^{c} = 1) = q \times p^{c} \times q + p \times q^{c} \times p

$\mathbb{P}(I_i^c=1) = q\times p^c \times q + p \times q^c \times p$

Und daher ist

E. [{R.}_{c}]] = (n - - c - - 1) \times (p^{c} q^{2} + q^{c} p^{2}) + 2 (p^{c} q + q^{c} p)

$\mathbb{E}[R_c] = (n-c-1)\times(p^cq^2+q^cp^2) +2(p^cq+q^cp)$

Um zu berechnen , verwenden Sie $\text{Var}[R_c]$ $\text{Var}[R_c] = \mathbb{E}[R_c^2]-(\mathbb{E}[R_c])^2$

Details zur Varianzberechnung für Läufe in Münzwürfen (die, wie Sie bereits erwähnt haben, diesem Problem nahe kommen) finden Sie hier

— rechtsgesägt
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