Bitte beweisen Sie, dass $Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}$ ist konvex$\forall x>0$. Hier sind$\phi$und$\mathbf{\Phi}$das normale Standard-PDF bzw. CDF.

SCHRITTE VERSUCHT

1) BERECHNUNGSMETHODE

Ich habe die ausprobiert und habe eine Formel für das zweite Derivat, kann aber nicht zeigen, dass es positiv ist ∀ x > 0 . Bitte lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Details benötigen.$\forall x > 0$

Schließlich ∂Q(x

$$\begin{eqnarray*} \text{Let }Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ Q ( x $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x} & = & 2x+x\left[-\frac{x\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right]+\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ 2 Q(x $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x}\right|_{x=0} & = & \frac{\phi\left(0\right)}{\Phi\left(0\right)}>0 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}Q\left(x\right)}{\partial x^{2}} & = & 2+x\phi\left(x\right)\left[\frac{-\Phi^{2}\left(x\right)+x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)+3x\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2\phi^{2}\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]+2\left[-x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 2+\phi\left(x\right)\left[\frac{x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{2}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)-2\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]\\ \end{eqnarray*}$$ Sei K(x)=2Φ3(x)+2xϕ3(x)+Φ2(x)ϕ(x)x[x2-3]+ϕ2(x)Φ(x)[3x2-2] $$\begin{eqnarray*} & = & \left[\frac{2\Phi^{3}\left(x\right)+x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \text{Let, }K\left(x\right)=2\Phi^{3}\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)x\left[x^{2}-3\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right] \end{eqnarray*}$$ Fürx≥ $$\begin{eqnarray*} K\left(0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}>0 \end{eqnarray*}$$ . Fürx∈ ( 0,$x\geq\sqrt{3},K\left(x\right)>0$, K ' ( x $x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+2\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)\left[x^{3}-3x\right]-\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[x^{4}-3x^{2}\right]+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[3x^{2}-3\right]\\ & & -2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{3}-2x\right]+\phi^{3}\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)6x \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-2\phi^{3}\left(x\right)+6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\\ & & +2x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+6x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-4x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} =\phi\left(x\right)\left[3\Phi^{2}\left(x\right)+x\left\{ 6x\Phi^{2}\left(x\right)-3x\phi^{2}\left(x\right)-x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+4\Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[1-x^{2}\right]\right\} \right] \end{eqnarray*}$$

2) GRAFISCHE / NUMERISCHE METHODE

Ich konnte dies auch numerisch und visuell sehen, indem ich die Diagramme wie unten gezeigt zeichnete. aber es wäre hilfreich, einen richtigen Beweis zu haben.

Lassen Sie uns die zweite Ableitung von zeigen $Q$ ist positiv für $x \ge 0$. Zunächst müssen wir wissen, wie man differenziert$\Phi$ und $\phi$.

Per Definition,

$$\frac{d}{dx}\Phi(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2).$$ Noch einmal differenzieren gibt

$$\frac{d}{dx}\phi(x) = -x \phi(x).$$

Anwendung dieses Ergebnisses auf ein anderes Derivat ergibt

$$\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = (-1 + x^2)\phi(x).$$

Unter Verwendung dieser Ergebnisse zusammen mit den üblichen Produkt- und Quotienten-Differenzierungsregeln finden wir, dass der Zähler der zweiten Ableitung die Summe von sechs Termen ist. (Dieses Ergebnis wurde in der Mitte der Frage erhalten.) Es ist zweckmäßig, die Begriffe in drei Gruppen einzuteilen:

$$\eqalign{ \Phi(x)^3\frac{d^2}{dx^2}Q(x)= &2 x \phi(x)^3 \\ &+\,3 x^2 \phi(x)^2 \Phi(x)+x^3 \phi(x) \Phi(x)^2 \\ &+\,\Phi(x) \left(-2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2\right). }$$

weil $\phi$ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, sie ist nicht negativ und ebenso die Verteilungsfunktion $\Phi$. Somit könnte möglicherweise nur der dritte Term negativ sein, wenn$x\ge 0$. Sein Vorzeichen ist das gleiche wie das seines zweiten Faktors,

$$R(x) = -2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2.$$

Es gibt viele Möglichkeiten zu zeigen, dass dieser Faktor nicht negativ sein kann. Man ist zu beachten, dass

$$R(0) = -2\phi(0) + 2\Phi(0) = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \gt 0.$$

Differenzierung - mit den gleichen einfachen Techniken wie zuvor - gibt

$$\frac{d}{dx} R(x) = \phi(x)(x \phi(x) + (1 + 3x^2)\Phi(x))$$

das ist eindeutig positiv für $x\ge 0$. Deshalb$R(x)$ ist eine zunehmende Funktion des Intervalls $[0, \infty)$. Its minimum must be at $R(0) \gt 0$, proving $R(x)\gt 0$ for all $x \ge 0$.

We have shown $Q$ has positive second derivative for $x \ge 0$, QED.