Wie kann ich 2 Mittel vergleichen, die von Laplace verteilt werden?

Ich möchte 2 Stichprobenmittelwerte für 1-Minuten-Aktienrenditen vergleichen. Ich gehe davon aus, dass sie Laplace-verteilt sind (bereits geprüft) und teile die Retouren in zwei Gruppen auf. Wie kann ich überprüfen, ob sie sich erheblich unterscheiden?

Ich denke, ich kann sie nicht wie eine Normalverteilung behandeln, denn obwohl sie mehr als 300 Werte haben, zeigt das QQ-Diagramm, dass es einen großen Unterschied zu einer Normalverteilung gibt

Angenommen, beide Laplace-Verteilungen haben die gleiche Varianz.

a) Der Likelihood-Ratio-Test würde eine Teststatistik beinhalten wie:

$\mathcal{L}=\frac{\prod_{i=1}^n \frac{1}{2\hat{\tau}} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}|}{\hat{\tau}})}{\prod_{i=1}^{n_1}\frac{1}{2\hat{\tau}_1} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_1|}{\hat{\tau}_1})\cdot \prod_{i=n_1+1}^{n} \frac{1}{2\hat{\tau}_2} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_2|}{\hat{\tau}_2})}$

Protokolle erstellen, abbrechen / vereinfachen und mit multiplizieren .$-2$

$\,-2\mathcal{l} = 2(n\log(\hat{\tau})-n_1\log(\hat{\tau}_1)-n_2\log(\hat{\tau}_2))\;\qquad$ (wobei )$\mathcal{l}=\log(\mathcal{L})$

Dabei ist die mittlere absolute Abweichung vom Median in der kombinierten Stichprobe und die mittlere absolute Abweichung vom Median in Stichprobe .$\hat{\tau}=m$$\hat{\tau}_i=m_i$$i$

Nach dem Satz von Wilks ist dies asymptotisch als unter der Null verteilt, sodass Sie für einen 5% -Test ablehnen würden, wenn dieser überschreitet .$\chi^2_1$$3.84\,$

Simulationsexperimente legen nahe, dass der Test bei kleinen Stichprobengrößen antikonservativ ist (die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung ist etwas höher als nominal), aber um etwa n = 100 scheint er zumindest vernünftig zu sein (Sie liegen in der Größenordnung von 5,3% - 5,4%) Ablehnungsrate unter Null für einen nominalen 5% -Test, zum Beispiel; für scheint sie näher an 5,25% zu liegen).$n_1,n_2>300$

b) Wir würden auch erwarten, dass eine gute Teststatistik ist (wobei die darstellt Stichprobenmedian und ); Wenn ich dort keinen Fehler gemacht habe, würde er in großen Stichproben wie Ihrer ungefähr normal unter der Null mit dem Mittelwert 0 und der Varianz 1 verteilt sein, wobei auf dem Quadrat der basieren könnte mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert in der kombinierten Stichprobe, , obwohl ich davon , dass es in der Praxis besser funktionieren würde, wenn man es auf einen stichprobengewichteten Durchschnitt der beiden Stichproben 's .$\frac{\tilde{\mu}_1- \tilde{\mu}_2}{\sqrt{v}}$$\tilde{\mu}$$v=2\hat{\tau}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})$$\hat{\tau}^2$$m^2$$m^2_i$$^\dagger$

$\dagger$ (Bearbeiten: Simulation legt nahe, dass die normale Näherung in Ordnung ist, aber die Varianzberechnung oben nicht korrekt ist; ich kann sehen, wo das Problem jetzt liegt, muss es aber noch beheben. Die Permutationsversion dieses Tests (siehe Punkt (c)) sollte noch in Ordnung sein).

c) Eine andere Alternative wäre die Durchführung eines Permutationstests auf der Grundlage einer der oben genannten Statistiken. (Eine der Antworten hier gibt einen Überblick darüber, wie der Permutationstest für einen Unterschied in den Medianwerten implementiert wird.)

d) Sie könnten immer einen Wilcoxon / Mann-Whitney-Test durchführen; Es ist wesentlich effizienter als der Versuch, einen T-Test am Laplace durchzuführen.

e) Besser als (d) für Laplace-Daten wäre der Mood-Median-Test; Während dies in Büchern oft empfohlen wird, zeigt es beim Umgang mit Laplace-Daten eine gute Leistung. Ich gehe davon aus, dass es eine ähnliche Leistung haben würde wie die Permutationsversion des asymptotischen Tests der Differenz im Median (einer der in (c) genannten Tests).

Die Frage hier gibt eine R-Implementierung an, die einen Fisher-Test verwendet, aber dieser Code kann angepasst werden, um stattdessen einen Chi-Quadrat-Test zu verwenden (was ich selbst in moderaten Beispielen vorschlagen würde). alternativ gibt es Beispielcode für sie (nicht als Funktion) hier .

Der Median-Test wird hier in Wikipedia diskutiert , wenn auch nicht sehr ausführlich (die verknüpfte deutsche Übersetzung enthält etwas mehr Informationen). Einige Bücher über Nichtparametrik diskutieren dies.