Nachfolgend einige sehr einfache Modelle. Sie sind beide in mindestens einer Hinsicht mangelhaft, aber vielleicht bieten sie etwas, worauf sie aufbauen können. Das zweite Modell geht eigentlich nicht (ganz) auf das Szenario des OP ein (siehe Anmerkungen unten), aber ich lasse es, falls es irgendwie hilft.
Modell 1 : Eine Variante des Bradley-Terry-Modells
Angenommen, wir möchten in erster Linie vorhersagen, ob eine Mannschaft eine andere schlagen wird, basierend auf den Spielern in jeder Mannschaft. Wir können einfach aufzeichnen, ob Team 1 mit Spielern ( i , j ) Team 2 mit Spielern ( k , ℓ ) für jedes Spiel schlägt , wobei die Endpunktzahl ignoriert wird. Sicherlich wirft dies einige Informationen weg, aber in vielen Fällen liefert dies immer noch viele Informationen.
Das Modell lautet dann
logit(P(Team 1 beats Team 2))=αi+αj−αk−αℓ.
Das heißt, wir haben einen "Affinitäts" -Parameter für jeden Spieler, der sich darauf auswirkt, wie sehr dieser Spieler die Gewinnchance seiner Mannschaft verbessert. Definiere die "Stärke" des Spielers mit . Dann behauptet dieses Modell, dass
P ( Team 1 schlägt Team 2 ) = s i s jsi=eαi
P(Team 1 beats Team 2)=sisjsisj+sksℓ.
Hier besteht eine sehr schöne Symmetrie darin, dass es keine Rolle spielt, wie die Antwort codiert wird, solange sie mit den Prädiktoren übereinstimmt. Das heißt, wir haben auch
logit(P(Team 2 beats Team 1))=αk+αℓ−αi−αj.
Dies kann leicht als logistische Regression mit Prädiktoren (einer für jeden Spieler) angepasst werden, die den Wert wenn Spieler für das betreffende Spiel in Team 1 ist, wenn sie in Team 2 ist, und wenn sie dies nicht tut an diesem Spiel teilnehmen.+1i−10
Daraus haben wir auch eine natürliche Rangfolge für die Spieler. Je größer die (oder ), desto größer die Gewinnchance ihres Teams. Wir können die Spieler also einfach nach ihren geschätzten Koeffizienten einstufen. (Beachten Sie, dass die Affinitätsparameter nur bis zu einem gemeinsamen Versatz identifizierbar sind. Daher ist es typisch, zu fixieren , um das Modell identifizierbar zu machen.)αsα1=0
Modell 2 : Unabhängige Wertung
NB : Beim erneuten Lesen der Frage des OP wird deutlich, dass die folgenden Modelle für seinen Aufbau nicht geeignet sind. Insbesondere interessiert sich das OP für ein Spiel, das endet, nachdem eine bestimmte Anzahl von Punkten von der einen oder der anderen Mannschaft erzielt wurde. Die folgenden Modelle eignen sich eher für Spiele mit fester Spieldauer. Änderungen können vorgenommen werden, um sich besser in den Rahmen des OP einzufügen, aber es wäre eine separate Antwort erforderlich, um sie zu entwickeln.
Jetzt wollen wir die Ergebnisse im Auge behalten. Angenommen, es ist eine vernünftige Annäherung, dass jedes Team unabhängig voneinander Punkte erzielt, wobei die Anzahl der in einem Intervall erzielten Punkte unabhängig von einem disjunkten Intervall ist. Dann kann die Anzahl der Punkte, die jedes Team erzielt, als Poisson-Zufallsvariable modelliert werden.
Somit können wir einen Poisson-GLM so einrichten, dass die Punktzahl eines Teams, das aus den Spielern und in einem bestimmten Spiel besteht,
ij
log(μ)=γi+γj
Beachten Sie, dass dieses Modell die tatsächlichen Begegnungen zwischen den Mannschaften ignoriert und sich ausschließlich auf die Wertung konzentriert.
Es hat eine interessante Verbindung zum modifizierten Bradley-Terry-Modell. Definieren Sie und nehmen Sie an, dass ein Spiel mit plötzlichem Tod gespielt wird, in dem die erste Mannschaft gewinnt, die Punkte erzielt. Wenn Team 1 Spieler und Team 2 Spieler , dann ist
Somit entspricht die durchschnittliche Punktezahl der Spieler der "Stärke" -Parameterformulierung von Modell 1. ( iσi=eγi(i,j)(k,ℓ)
P(Team 1 beats Team 2 in sudden death)=σiσjσiσj+σkσℓ.
Wir könnten in Betracht ziehen, dieses Modell komplexer zu machen, indem für jeden Spieler eine Affinität "Offensiv" und eine Affinität "Verteidigungs" haben, so dass, wenn Team 1 mit Team 2 mit , dann ist
und
δ i ( i , j ) , ( k , l ) lügt ( μ 1 ) = ρ i + ρ j - δ k - δ l lügt ( μ 2 ) = ρ k + ρ l - δ i - δ jρiδi(i,j)(k,ℓ)
log(μ1)=ρi+ρj−δk−δℓ
log(μ2)=ρk+ρℓ−δi−δj
Die Wertung ist in diesem Modell noch unabhängig, aber jetzt gibt es eine Interaktion zwischen den Spielern in jeder Mannschaft, die sich auf die Wertung auswirkt. Spieler können auch nach ihren Schätzungen des Affinitätskoeffizienten eingestuft werden.
Modell 2 (und seine Varianten) ermöglichen auch die Vorhersage eines Endergebnisses.
Erweiterungen : Eine nützliche Möglichkeit, beide Modelle zu erweitern, ist die Einbeziehung einer Reihenfolge, bei der die positiven Indikatoren der "Heimmannschaft" und die negativen Indikatoren der "Auswärtsmannschaft" entsprechen. Das Hinzufügen eines Intercept-Terms zu den Modellen kann dann als "Heimvorteil" interpretiert werden. Andere Erweiterungen könnten die Möglichkeit von Bindungen in Modell 1 beinhalten (dies ist in Modell 2 tatsächlich bereits möglich).
Randbemerkung : Mindestens eine der computergestützten Umfragen ( Peter Wolfe's ), die für die Bowl Championship Series im amerikanischen College-Football verwendet wurden, verwendet das (Standard-) Bradley-Terry-Modell, um ihre Ranglisten zu erstellen.