Was ist der Standardfehler der Probenstandardabweichung?

Ich habe von dort gelesen, dass der Standardfehler der Stichprobenvarianz ist

S E_{s^{2}} = \sqrt{\frac{2 σ^{4}}{N - 1}}

$SE_{s^2} = \sqrt{\frac{2 \sigma^4}{N-1}}$

Ich wäre versucht zu raten und zu sagen, dass aber ich bin nicht sicher. $SE_{s} = \sqrt{SE_{s^2}}$

sampling standard-deviation standard-error

— Remi.b
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Du meinst den Standardfehler der Stichprobenvarianz / Standardabweichung, denke ich? Wenn ja, welche Verteilung?

— Alecos Papadopoulos

Ja, das habe ich gemeint. Ich habe meinen Beitrag als Reaktion auf Ihren Kommentar bearbeitet. Danke. Ich bin überrascht, dass Sie sich fragen, welche Verteilung ich beabsichtige. Ich hätte nicht erwartet, dass es darauf ankommt. Nein, ich habe keine bestimmte Verteilung im Sinn. Die Populationsform, aus der meine Stichprobe stammt, ist wahrscheinlich nicht normal. Es ist wahrscheinlich leicht schief und hat sehr lange Schwänze.

— Remi.b

Asymptotisch "spielt es keine Rolle". In endlichen Stichproben ist dies sicherlich der Fall. Die asymptotische Antwort finden Sie unter stats.stackexchange.com/a/105338/28746

— Alecos Papadopoulos

Und als nächstes fragen Sie nach dem Standardfehler des Standardfehlers des Standardfehlers ...

— kjetil b halvorsen

@Kjetil Dein Gedanke ist amüsant. Beachten Sie jedoch, dass die hier definierte SE keine Zufallsvariable ist. es hat keinen Standardfehler. Ein häufig schätzt die SE durch eine Schätzung des Verwendens und häufig - von einem herkömmlichen Mißbrauch der Sprache - noch Anrufe, die geschätzte SE einen „Standardfehler“ . Als solches ist es in der Tat eine Zufallsvariable und wird einen Standardfehler aufweisen. Ich bin mir sicher, dass Sie sich der Unterscheidung bewusst sind (und dies beachtet haben, als Sie Ihren Kommentar verfasst haben), aber ich möchte es hervorheben, damit die Leute die ursprüngliche Frage nicht missverstehen, wenn sie über Ihren Kommentar nachdenken.

σ^{4}

$\sigma^4$

— whuber

Sei . Dann lautet die Formel für die SE von : $\mu_4 = E(X-\mu)^4$ $s^2$

Dies ist eine exakte Formel, die für jede Stichprobengröße und Verteilung gültig ist und auf Seite 438 von Rao, 1973, unter der Annahme bewiesen wird, dassendlich ist. Die Formel, die Sie in Ihrer Frage angegeben haben, gilt nur für normalverteilte Daten.

s e (s^{2}) = \sqrt{\frac{1}{n} (μ_{4} - \frac{n - 3}{n - 1} σ^{4})}

$se(s^2) = \sqrt{ \frac{1}{n}\left(\mu_4 -\frac{n-3}{n-1} \sigma^4\right)}$

μ_{4}

$\mu_4$

Lassen . Sie möchten die SE von finden , wobei $\hat{\theta} = s^2$ $g(\hat{\theta})$ . $g(u) = \sqrt{u}$

Es gibt keine allgemeine exakte Formel für diesen Standardfehler, wie @Alecos Papadopoulos hervorhob. Mit der Delta-Methode kann man jedoch einen ungefähren (großen Stichproben-) Standardfehler ermitteln. (Siehe Wikipedia-Eintrag für "Delta-Methode").

Hier ist, wie Rao, 1973, 6.a.2.4 es ausdrückt. Ich beziehe die Absolutwertindikatoren ein, die er fälschlicherweise weggelassen hat.

s e (G (\hat{θ})) \approx | G^{'} (\hat{θ}) | \times s e (\hat{θ})

$se(g(\hat{\theta})) \approx |g'(\hat\theta)|\times se(\hat{\theta})$

g^{'}

$g'$

$g$

G^{'} (u) = \frac{1}{2 u^{1 / 2}}

$g'(u) = \frac{1}{2\thinspace u^{1/2}}$

So:

s e (s) \approx \frac{1}{2 σ} s e (s^{2})

$se(s)\approx \frac{1}{2 \sigma} se(s^2)$

In der Praxis würde ich den Standardfehler mit dem Bootstrap oder Jackknife abschätzen.

Referenz:

CR Rao (1973) Lineare statistische Inferenz und ihre Anwendungen 2. Aufl., John Wiley & Sons, NY

— Steve Samuels
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| g^{'} (\hat{θ}) |

$|g^\prime(\hat\theta)|$

Vielen Dank. Sie haben Recht mit dem absoluten Wert. Rao hatte es weggelassen (Gleichung 6.a.2.4 in den Ausgaben von 1968 und 1973). Der Beweis der Delta-Methode ist wirklich für die Varianz, bei der der Multiplikator [g '] ^ 2 ist.

— Steve Samuels

Was ist der Stiefel und das Klappmesser?

— Alpha_989

@ alpha_989 Die Bootstrap- und Jackknife- Methoden verwenden ein Resampling, um die Genauigkeit zu schätzen. Sie sind nützlich, da Sie die Fehlerweitergabe nicht von Hand ausführen müssen.

— Ben Jones