Jeffreys Prior für die Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz

Ich lese über frühere Verteilungen und habe Jeffreys zuvor für eine Stichprobe normalverteilter Zufallsvariablen mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz berechnet. Nach meinen Berechnungen gilt für Jeffreys Prior Folgendes:

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$ Hier

I

$I$ Fischers Informationsmatrix.

Ich habe jedoch auch Veröffentlichungen und Dokumente gelesen, in denen es heißt

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ siehe Abschnitt 2.2 inKass und Wassermann (1996).
siehe Seite 25 inYang und Berger (1998) $p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$

als Jeffreys vor für den Fall einer Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und Varianz. Was ist der "tatsächliche" Jeffreys Prior?

— Nussig
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Antworten:

Ich denke, die Diskrepanz erklärt sich dadurch, ob die Autoren die Dichte über oder die Dichte über berücksichtigen . Zur Unterstützung dieser Interpretation schreiben Kass und Wassermann genau während Yang und Berger schreiben $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A. Donda
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Danke, ich habe das übersehen. Dies erklärt jedoch immer noch nicht die Diskrepanz zwischen

und

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig

Tatsächlich ist ein Prior von

dasselbe wie ein Prior von

, aufgrund der Reparametrisierungseigenschaft von Jeffreys Prior:

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

mit

die Jacobi-Matrix von

, dh

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

Jim Berger ist immer noch ein aktiver Wissenschaftler. Um

— A. Donda

$\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
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σ^{3}

$\sigma^{3}$

$\frac{1}{\sigma^3}$ $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— Jorne Biccler
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\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$ The prior

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$ should result in a normal-inverse-

χ^{2}

$\chi^2$ posterior, too, just with different parameters.

— Nussig

Ooh, yes it leads to a normal-inverse-

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$ . I just find it more natural that the marginal of

σ^{2}

$\sigma^2$ is an inverse

χ^{2}

$\chi^2$ with n-1 instead of n degrees of freedom. Anyhow, I certainly did not want to imply that the other priors would lead to annoying distributions. To be honest I didn't know the posterior of the Jeffry's prior by heart nor did I really think to much about it when I wrote the post.

— Jorne Biccler