Hat die Binomialverteilung die kleinstmögliche Varianz unter allen „vernünftigen“ Verteilungen, die binäre Wahlen modellieren können?

Stellen Sie sich eine Wahl vor, bei der Personen eine binäre Wahl treffen: Sie stimmen für A oder dagegen. Das Ergebnis ist, dass Menschen für A stimmen, und daher ist das Ergebnis von A . $n$ $m$ $p=m/n$

Wenn ich diese Wahlen modellieren möchte, kann ich davon ausgehen, dass jede Person mit der Wahrscheinlichkeit unabhängig für A stimmt , was zur binomialen Verteilung der Stimmen führt: Diese Verteilung hat den Mittelwert und die Varianz . $p$

votes for A \sim B i n o m (n, p) .

$\text{votes for A}\sim\mathsf{Binom}(n,p).$

m = n p

$m=np$

n p (1 - p)

$np(1-p)$

Ich kann auch andere Annahmen treffen. Zum Beispiel kann ich annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit selbst eine Zufallsvariable ist, die aus einer Verteilung stammt (z. B. Beta); Dies kann zu einer Beta-Binomialverteilung der Stimmen für A führen. Oder ich kann davon ausgehen, dass Personen in Gruppen von abstimmen , wobei jede Gruppe von Personen die gleiche Wahl trifft und es A mit der Wahrscheinlichkeit . Dies führt zu einer Binomialverteilung mit größerer Varianz. In all diesen Fällen ist die Varianz der resultierenden Verteilung größer als im einfachsten Binomialschema. $p$ $k$ $k$ $p$

Kann ich behaupten, dass die Binomialverteilung die geringstmögliche Varianz aufweist? Mit anderen Worten, kann diese Behauptung irgendwie präzisiert werden, z. B. indem einige vernünftige Bedingungen für die möglichen Verteilungen angegeben werden? Was wären diese Bedingungen?

Oder gibt es vielleicht eine vernünftige Verteilung mit geringerer Varianz?

$n$ $\text{votes for A}$ $m$ $m$

— Amöbe
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Eine verwandte Frage: Sind diese Daten unterdispers? Wenn ja, welche Mechanismen können dies erklären?

— Amöbe

Die Poisson-Binomialverteilung hat maximale Varianz, wenn alle p_i gleich sind (dh wenn sie auf Binomial reduziert sind) für festen Mittelwert und n. en.m.wikipedia.org/wiki/Poisson_binomial_distribution

— seanv507

@ Seanv507 Danke, ja. Ich habe das schon 2015 selbst realisiert, siehe meinen Kommentar unter Whubers Antwort. Wenn Sie dies jedoch als Antwort veröffentlichen möchten (um herauszufinden, was Poisson-Binomial ist), werde ich gerne eine positive Bewertung abgeben.

— Amöbe

Nein .

$n=2k$ $k$

Sie könnten schlecht weinen, weil die Ehemänner nicht zufällig abstimmen. Nun, sie sind - sie sind einfach eng mit den zufälligen Stimmen ihrer Frauen verbunden. Wenn Sie das stört, ändern Sie die Dinge ein wenig, indem Sie jeden Ehemann zehn faire Münzen werfen lassen. Wenn alle zehn Köpfe sind, wird er mit seiner Frau abstimmen; sonst stimmt er gegen sie. Sie können überprüfen, ob das Wahlergebnis immer noch eine geringe Abweichung (wenn auch ungleich Null) aufweist, obwohl jede Abstimmung nicht vorhersehbar ist.

Der Kern der Sache liegt in der negativen Kovarianz zwischen zwei Wahlblöcken, Männern und Frauen.

— whuber
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p_{i}

$p_i$

p

$p$

\sum p_{i}

$\sum p_i$

n p

$np$

p_{i} = p

$p_i=p$

Klar: Es gibt viele Möglichkeiten, eine Unterdispersion zu erreichen (wie ich sehe, haben Sie dies verspätet erkannt!). Ich dachte nur, dieses Ehemann-Ehefrau-Beispiel sei klar, amüsant und einprägsam genug, um es wert zu sein, niedergeschrieben zu werden. Da es sich um eine Antwort handelte, wäre es nicht angebracht gewesen, sie in einem Kommentar zu begraben (so begann das Leben).

— whuber