Sei

Ich lerne gerade selbst in der linearen Modelltheorie und finde es überraschend, dass für einen Zufallsvektor definiert ist , außer der Kovarianzmatrix werden keine weiteren Momente erwähnt. $\mathbb{E}[\mathbf{Y}]$ $\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$

Die Google-Suche ist nicht viel aufgetaucht. Werden th (rohe) Momente von berücksichtigt, oder gibt es eine andere Idee, von der ich nichts weiß? $k$ $\mathbf{Y}$

Ich lerne aus dem Text Flugzeugantworten auf komplexe Fragen (das Inhaltsverzeichnis beginnt auf S. 17 der verknüpften Datei). Mit "betrachtet," was ich meine ist , ist es so etwas wie , und wenn ja, wie würde ein solches Konzept definiert werden? Das Buch, das ich habe, behandelt nur den ersten rohen Moment, und ich finde es ein bisschen seltsam, dass es aufgrund meiner Erfahrung mit Univariate keine Erwähnung gibt, wie man Wahrscheinlichkeit, noch habe ich das Fachwissen, um es zu definieren. $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$

Wenn nicht definiert ist, wird stattdessen möglicherweise ein verwandtes Konzept verwendet, von dem ich nichts weiß? $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$

self-study moments

— Klarinettist
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Diese Seite zeigt die Beziehung zwischen rohen und zentralen Momenten und beschreibt den Vorteil zentraler Momente.

— EdM

@EdM Ich verstehe nicht; das sieht so aus, als würde es sich um univariate Momente handeln, mit denen ich sehr vertraut bin. Ich frage mich, ob

te rohe Momente (

) für den multivariaten Fall (dh mit Zufallsvektoren) und nicht für den univariaten Fall berücksichtigt werden und wenn ja, wie ein solches Konzept definiert werden würde.

k

$k$

k \geq 2

$k \geq 2$

— Klarinettist

Siehe auch

— Andrew M

Meiner Meinung nach werden Statistiken, die in Bezug auf die Translation entlang der Achse einer Variablen unveränderlich sind, als am nützlichsten angesehen, und daher würden rohe Momente nicht so häufig untersucht wie zentrale Momente, die diese nützliche Eigenschaft haben. Diese kreuzvalidierte Seite enthält ausführliche Informationen zu Momenten höherer Ordnung und verwandten Themen.

— EdM

Könnten Sie erweitern, was Sie unter "linearer Modelltheorie" und "berücksichtigt" verstehen? In einigen einfacheren Anwendungen linearer Modelle werden Annahmen nur für die ersten beiden Momente von

, in anderen - wie verallgemeinerten linearen Modellen - werden Annahmen getroffen, die spezifische Auswirkungen auf die gesamte Verteilung von

Y

$\mathbf{Y}$

Y

$\mathbf{Y}$

— whuber

Antworten:

Das richtige Analogon für univariate Momente in einer multivariaten Einstellung besteht darin, den Exponenten als Vektor anzusehen. Die Exponentialschreibweise mit Vektorbasen und Vektorexponenten ist eine Abkürzung für das Produkt. $\mathbf{k} = (k_1, k_2, \ldots, k_n)$

y^{k} = y_{1}^{k_{1}} y_{2}^{k_{2}} \dots y_{n}^{k_{n}} .

$\mathbf{y}^\mathbf{k} = y_1^{k_1} y_2 ^{k_2} \cdots y_n^{k_n}.$

Für jeden solchen Vektor ist das (rohe) Moment der Zufallsvariablen definiert als $\mathbf{k}$ $\mathbf{k}^\text{th}$ $\mathbf{Y}$

μ_{k} = E (Y^{k}) .

$\mu_\mathbf{k} = \mathbb{E}\left(\mathbf{Y}^\mathbf{k}\right).$

Um eine solche Definition zu motivieren, betrachten Sie ein univariates Moment einer linearen Funktion von : $\mathbf{Y}$

E ({(λ_{1} Y_{1} + \dots + λ_{n} Y_{n})}^{m}) = \sum_{k} (\binom{m}{k}) λ^{k} μ_{k}

$\mathbb{E}\left(\left(\lambda_1 Y_1 + \cdots + \lambda_n Y_n\right)^m\right) = \sum_\mathbf{k} \binom{m}{\mathbf{k}}\lambda^\mathbf{k} \mu_\mathbf{k}$

wobei die Summe über alle auftritt, deren Komponenten ganze nicht negative Zahlen sind, die zu summiert werden, und sind die multinomialen Koeffizienten. Das Erscheinen der multivariaten Momente auf der rechten Seite zeigt, warum sie natürliche und wichtige Verallgemeinerungen der univariaten Momente sind. $\mathbf{k}$ $m$ $\binom{m}{\mathbf{k}} = m!/(k_1!k_2!\cdots k_n!)$

Diese tauchen ständig auf. Zum Beispiel ist die Kovarianz zwischen und nichts anderes als $Y_i$ $Y_j$

Cov (Y_{i}, Y_{j}) = E (Y_{i} Y_{j}) - E (Y_{i}) E (Y_{j}) = μ_{k_{i} + k_{j}} - μ_{k_{i}} μ_{k_{j}}

$\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathbb{E}(Y_i Y_j)- \mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(Y_j) = \mu_{\mathbf{k}_i + \mathbf{k}_j} - \mu_{\mathbf{k}_i}\mu_{\mathbf{k}_j}$

Dabei sind und die Indikatorvektoren mit Nullen an allen bis auf eine Stelle und einer Eins an der angegebenen Stelle. ( Formel ergibt elegant die Varianz von wenn .) $\mathbf{k}_i$ $\mathbf{k}_j$ $Y_i$ $i=j$

Es gibt natürliche Verallgemeinerungen aller univariaten Momentkonzepte für die multivariate Einstellung: eine Momenterzeugungsfunktion, Kumulanten, eine Kumuliererzeugungsfunktion, zentrale Momente, eine charakteristische Funktion sowie algebraische und analytische Beziehungen zwischen allen.

Referenz

Alan Stuart und J. Keith Ord, Kendalls Advanced Theory of Statistics , 5. Auflage. Oxford University Press, 1987: Band I, Kapitel 3, Momente und Kumulanten.

— whuber
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Zusätzlich zu den Punkten von @ whuber

1) Ich bin nicht sicher, was die lineare Modelltheorie beinhaltet, aber denken Sie daran, dass es sich bei linearen Modellen im Allgemeinen um normale Zufallsvariablen handelt, die 0 Versatz und 0 Kurtosis haben.

2) Im Allgemeinen hat die Frage die Form "Wie genau ist genau?". Wenn ich IID-Proben beschreiben möchte, könnte ich sagen, ich möchte nur den Mittelwert. Alternativ könnte ich sagen, ich möchte den Mittelwert und die Fehler in den Mitteln. Eine noch detailliertere Alternative wären Mittel, Fehler in den Mitteln und Fehler in den Fehlern in den Mitteln. An diesem Muster können Sie sehen, wie die höheren Momente weiter zunehmen. Es gibt keine wirkliche Lösung für dieses Problem, daher hören die Leute im Allgemeinen auf Stufe 2 auf (dh Mittelwert und Varianz). Das heißt nicht, dass die höheren Momente nutzlos sind. Tatsächlich werden diese Probleme für Probleme mit Fettschwanzverteilungen relevant

— Sid
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