Was ist die langfristige Varianz?

Wie ist die langfristige Varianz im Bereich der Zeitreihenanalyse definiert?

Ich verstehe, dass es für den Fall verwendet wird, dass die Daten eine Korrelationsstruktur aufweisen. Unser stochastischer Prozess wäre also keine Familie von $X_1, X_2 \dots$ iid Zufallsvariablen, sondern nur identisch verteilt?

Könnte ich eine Standardreferenz als Einführung in das Konzept und die mit seiner Schätzung verbundenen Schwierigkeiten haben?

— Monolith
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Related: stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— Taylor

Es ist ein Maß für den Standardfehler des Stichprobenmittelwerts bei serieller Abhängigkeit.

Wenn $Y_t$ IS kovarianzstationär mit $E(Y_t)=\mu$ und $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ (! In einer IId Einstellung, diese Menge wäre Null) , so daß $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$ . Dann

lim_{T \to \infty} {V ein r [\sqrt{T} ({\bar{Y.}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y.}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$ wobei Die erste Gleichheit ist definitiv, diezweite etwas schwieriger zu bestimmenund das dritte eine Folge der Stationarität, die impliziert, dass

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$ .

Das Problem ist also in der Tat mangelnde Unabhängigkeit. Um dies deutlicher zu sehen, schreiben Sie die Varianz des Stichprobenmittelwerts als

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Ein Problem bei der Schätzung der langfristigen Varianz ist, dass wir natürlich nicht alle Autokovarianzen mit endlichen Daten beobachten. Zu diesem Zweck werden Kernel (in der Ökonometrie "Newey-West" - oder HAC-Schätzer) verwendet.

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Christoph Hanck
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Vielen Dank! Ich habe die Zeitreihenanalyse von Hamilton überprüft. Tatsächlich heißt es, dass ein nicht parametrischer Weg zur Schätzung des Spektrums darin besteht, einen gewichteten Durchschnitt der Stichproben-Kovarianzen zu bilden. Es wird jedoch nicht auf die Mathematik eingegangen, die hinter der Bestimmung dieser Aussage steht. Könnten Sie ein Nachschlagewerk oder ein Dokument vorschlagen, das erklärt, warum dies ein guter Schätzer ist, wenn die Stichprobengröße zunimmt?

— Monolite

guter Punkt. Einige Änderungen vorgenommen

— Christoph Hanck

Es ist vielleicht erwähnenswert, dass der zweite ("knifflige") Schritt eine dominierte Konvergenz erfordert (siehe stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci, danke für den Hinweis, ich habe den Link eingefügt.

— Christoph Hanck

@Cristoph Hanck, gerne geschehen, danke für das Update!

— Tamas Ferenci