Referenzen: Schwanz des inversen cdf

Ich bin mir fast sicher, dass ich das folgende Ergebnis bereits in der Statistik gesehen habe, aber ich kann mich nicht erinnern, wo.

Wenn eine positive Zufallsvariable ist und dann wenn , wobei ist CDF von . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Dies ist geometrisch leicht zu erkennen, wenn die Gleichheit und ein horizontaler Schnitt bei der Fläche unter der Kurve des Integranden berücksichtigt wird . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Kennen Sie eine Referenz für dieses Ergebnis und ob es einen Namen hat?

— Stéphane Laurent
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Das "allgemeinere" ist eine einfache Anwendung der Integration durch Teile. Das braucht kaum eine Referenz!

— whuber

@whuber Ich bitte auch um eine Referenz zum ersten Ergebnis.

— Stéphane Laurent

Vielleicht haben Sie es unter stats.stackexchange.com/questions/18438 gesehen oder zumindest etwas sehr Ähnliches . Dieses Ergebnis ist auf eine Substitution im Integral zurückzuführen, die wiederum so grundlegend ist, dass man nicht erwarten würde, dass sie in der Literatur besonders erwähnt oder mit einem speziellen Namen versehen wurde.

— whuber

@whuber Ich sehe in Ihrem Link nicht. Darüber hinaus gilt das von mir erwähnte Ergebnis auch für ein diskretes (indem als Folge genommen und in der allgemeineren Aussage durch ). Das erste Ergebnis gilt sogar für ein allgemeines , denke ich.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent

Ich glaube, dass dies ohne Bezug verwendet werden könnte, vorausgesetzt, es wird klassischer ausgedrückt. Grob gesagt ist dies: für mit , eine direkte Folge von: und von dominierter Konvergenz. Ein wenig Arbeit ist erforderlich, um die Aussage für das (links stetige) inverse in dem allgemeinen Fall zu erhalten, in dem Schritte haben kann.

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Yves

Um die von Yves in den Kommentaren vorgeschlagene "kleine Arbeit" zu bewältigen, schlägt die Geometrie einen strengen und vollständig allgemeinen Beweis vor.

Wenn Sie möchten, können Sie alle Verweise auf Bereiche durch Integrale und Verweise auf "beliebig" durch die üblichen epsilon-delta-Argumente ersetzen. Die Übersetzung ist einfach.

Um das Bild einzurichten, sei die Überlebensfunktion $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

In der Figur ist ein Teil von . (Beachten Sie den Sprung in der Grafik: Diese bestimmte Verteilung ist nicht stetig.) Ein großer Schwellenwert wird angezeigt und eine winzige Wahrscheinlichkeit wurde ausgewählt (so dass ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Wir sind bereit zu gehen: Der Wert, an dem wir interessiert sind, (derjenige, den wir zeigen möchten, konvergiert bis Null) ist die Fläche des weißen Rechtecks mit der Höhe und der Basis von bis . Beziehen wir diesen Bereich auf die Erwartung von , denn die einzige uns zur Verfügung stehende Annahme ist, dass diese Erwartung existiert und endlich ist. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

Der positive Teil der Erwartung ist der Bereich unter der Überlebenskurve (von bis ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Da endlich sein muss (da sonst die Erwartung selbst nicht existieren und endlich wäre), können wir so groß wählen , dass die Fläche unter zwischen und alle oder fast alle von ausmacht. . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Alle Teile sind jetzt vorhanden: Der Graph von , die Schwelle , die kleine Höhe und der rechte Endpunkt legen eine Dissektion von in Bereiche nahe, die wir haben kann analysieren: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Wenn von oben auf Null geht, schrumpft die Fläche des weißen Rechtecks mit der Basis auf Null, weil konstant bleibt. (Aus diesem Grund wurde eingeführt. Dies ist die Schlüsselidee für diese Demonstration. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
Der blaue Bereich kann so nahe an wie Sie möchten, indem Sie mit einem entsprechend großen und dann klein auswählen . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Folglich kann die verbleibende Fläche - die eindeutig nicht größer als das weiße Rechteck mit der Basis von bis ist - beliebig klein gemacht werden. (Mit anderen Worten, ignorieren Sie einfach die roten und goldenen Bereiche.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Wir haben dabei in zwei Teile zerbrochen, deren Flächen beide gegen Null konvergieren. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Somit ist , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
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