Ich habe eine Linie, die am besten passt. Ich benötige Datenpunkte, die meine Best-Fit-Linie nicht ändern

Ich halte einen Vortrag über das Anpassen von Linien. Ich habe eine einfache lineare Funktion, $y=1x+b$ . Ich versuche, verstreute Datenpunkte zu erhalten, die ich in ein Streudiagramm einfügen kann, damit meine Best-Fit-Linie der gleichen Gleichung entspricht.

Ich würde diese Technik gerne in R oder Excel lernen - je nachdem, was einfacher ist.

Wähle ein beliebiges $(x_i)$ vorausgesetzt, mindestens zwei davon unterscheiden sich. Setze einen Schnittpunkt $\beta_0$ und eine Steigung $\beta_1$ und definiere

Diese Passform ist perfekt. Ohne die Anpassung zu ändern, können Sie $y_0$ zu $y = y_0 + \varepsilon$ ändern, indem Sie einen beliebigen Fehlervektor $\varepsilon=(\varepsilon_i)$ hinzufügen , sofern dieser sowohl zum Vektor $x = (x_i)$ als auch zum konstanten Vektor $(1,1,\ldots, 1)$) orthogonal ist , 1 , … , 1 ) . Eine einfache Möglichkeit , einen solchen Fehler zu erhalten , ist zu holen jeden Vektor $e$ und lassen $\varepsilon$ die Residuen auf Regression sein $e$ gegen $x$ . Im folgenden Code wird $e$ als eine Menge unabhängiger zufälliger Normalwerte mit dem Mittelwert $0$ und der gemeinsamen Standardabweichung generiert .

Darüber hinaus können Sie sogar die Menge der Streuung vorwählen, indem Sie möglicherweise festlegen, was $R^2$ sein soll. Lassen Sie $\tau^2 = \text{var}(y_i) = \beta_1^2 \text{var}(x_i)$ , skalieren Sie diese Residuen neu, um eine Varianz von zu haben

Diese Methode ist ganz allgemein: alle möglichen Beispiele (für eine gegebene Menge von $x_i$ ) können auf diese Weise erstellt werden.

Beispiele

Anscombes Quartett

Wir können Anscombes Quartett aus vier qualitativ unterschiedlichen bivariaten Datensätzen mit derselben deskriptiven Statistik (durch die zweite Ordnung) leicht reproduzieren .

Der Code ist bemerkenswert einfach und flexibel.

set.seed(17)
rho <- 0.816                                             # Common correlation coefficient
x.0 <- 4:14
peak <- 10
n <- length(x.0)

# -- Describe a collection of datasets.
x <- list(x.0, x.0, x.0, c(rep(8, n-1), 19))             # x-values
e <- list(rnorm(n), -(x.0-peak)^2, 1:n==peak, rnorm(n))  # residual patterns
f <- function(x) 3 + x/2                                 # Common regression line

par(mfrow=c(2,2))
xlim <- range(as.vector(x))
ylim <- f(xlim + c(-2,2))
s <- sapply(1:4, function(i) {
  # -- Create data.
  y <- f(x[[i]])                                         # Model values
  sigma <- sqrt(var(y) * (1 / rho^2 - 1))                # Conditional S.D.
  y <- y + sigma * scale(residuals(lm(e[[i]] ~ x[[i]]))) # Observed values

  # -- Plot them and their OLS fit.
  plot(x[[i]], y, xlim=xlim, ylim=ylim, pch=16, col="Orange", xlab="x")
  abline(lm(y ~ x[[i]]), col="Blue")

  # -- Return some regression statistics.
  c(mean(x[[i]]), var(x[[i]]), mean(y), var(y), cor(x[[i]], y), coef(lm(y ~ x[[i]])))
})
# -- Tabulate the regression statistics from all the datasets.
rownames(s) <- c("Mean x", "Var x", "Mean y", "Var y", "Cor(x,y)", "Intercept", "Slope")
t(s)

$(x,y)$x (die x-Koordinaten) unde zu Beginn (die Fehlermuster) .

Simulationen

R$y$$\beta=(\beta_0,\beta_1)$$R^2$$0 \le R^2 \le 1$$x$

simulate <- function(x, beta, r.2) {
  sigma <- sqrt(var(x) * beta[2]^2 * (1/r.2 - 1))
  e <- residuals(lm(rnorm(length(x)) ~ x))
  return (y.0 <- beta[1] + beta[2]*x + sigma * scale(e))
}

(Es wäre nicht schwierig, dies nach Excel zu portieren - aber es ist ein wenig schmerzhaft.)

$(x,y)$$60$ $x$$\beta=(1,-1/2)$( dh abfangen$1$ und Steigung $-1/2$), und $R^2 = 0.5$.

n <- 60
beta <- c(1,-1/2)
r.2 <- 0.5   # Between 0 and 1

set.seed(17)
x <- rnorm(n)

par(mfrow=c(1,4))
invisible(replicate(4, {
  y <- simulate(x, beta, r.2)
  fit <- lm(y ~ x)
  plot(x, y)
  abline(fit, lwd=2, col="Red")
}))

Durch Ausführen von können summary(fit)Sie überprüfen, ob die geschätzten Koeffizienten genau wie angegeben und das Vielfache sind$R^2$ist der beabsichtigte Wert. Andere Statistiken, wie der Regressions-p-Wert, können durch Ändern der Werte von angepasst werden$x_i$.