Ist die Kovarianz standardisierter Variablen die Korrelation?

Ich habe eine grundlegende Frage. Sagen , dass ich zwei Zufallsvariablen haben, und . Ich kann sie standardisieren, indem ich den Mittelwert subtrahiere und durch die Standardabweichung dividiere, dh $X$ $Y$ . $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

Ist die Korrelation von und , dieselbe wie die Kovarianz der standardisierten Versionen von und ? Das heißt, ist $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ ? $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
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Ja.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— Hemant Rupani
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Was???? Die rechte Seite Ihrer ersten Gleichung ist eine Zufallsvariable, während die linke Seite eine Konstante ist.

— Dilip Sarwate

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

i

$i$

Sie nehmen SD (X) und SD (Y) aus der Erwartung heraus. Erläutern Sie die Gründe für diesen Schritt bitte etwas genauer.

— Erdogan CEVHER

@ Erdogan-Konstanten können ohne Änderung außerhalb der Funktion Expected () verwendet werden.

— Hemant Rupani