Wie berechnet man das Vorhersageintervall für eine OLS-Mehrfachregression?

Wie lautet die algebraische Notation zur Berechnung des Vorhersageintervalls für die multiple Regression?

Es klingt albern, aber ich habe Probleme, eine klare algebraische Notation dafür zu finden.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Michael
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Nehmen Sie ein Regressionsmodell mit Beobachtungen und Regressoren: $N$ $k$

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Unter der Annahme eines Vektors der vorhergesagte Wert für diese Beobachtung Ein konsistenter Schätzer für die Varianz dieser Vorhersage ist wobei Der Vorhersagefehler für ein bestimmtes ist Die Null-Kovarianz zwischen und impliziert, dass und ein konsistenter Schätzer dafür ist $\mathbf{x_0}$

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

s^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{u}}_{i}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$

y_{0}

$y_0$

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

Das $1-\alpha$ $\rm confidence$ ist:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$ Das

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$ ist breiter:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
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Die obige Antwort ist sehr gut gemacht, aber ich denke, diese Quelle bietet einen Kontext für die Frage.

— June Skeeter

@Dimitriy Ich glaube, deine zweite Gleichung sollte eine Karotte / einen Hut haben, '^', über der .

β

$\beta$

— Don Slowik

Ist der Prognosefehler nicht der Rest: ?

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik