Lineare Kombination von zwei zufälligen Nicht-Normalen, die immer noch zur selben Familie gehören

Es ist bekannt, dass eine lineare Kombination von 2 zufälligen Normalvariablen auch eine zufällige Normalvariable ist. Gibt es gemeinsame nicht normale Verteilungsfamilien (z. B. Weibull), die diese Eigenschaft ebenfalls teilen? Es scheint viele Gegenbeispiele zu geben. Beispielsweise ist eine lineare Kombination von Uniformen typischerweise nicht einheitlich. Gibt es insbesondere nicht normale Verteilungsfamilien, in denen beide der folgenden Bedingungen zutreffen:

1. Eine lineare Kombination von zwei Zufallsvariablen aus dieser Familie entspricht einer gewissen Verteilung in dieser Familie.
2. Die resultierenden Parameter können als Funktion der ursprünglichen Parameter und der Konstanten in der linearen Kombination identifiziert werden.

Diese lineare Kombination interessiert mich besonders:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

wobei und aus einer nicht normalen Familie mit den Parametern und werden und aus derselben nicht normalen Familie mit dem Parameter .$X_1$$X_2$$\theta_1$$\theta_2$$Y$$\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Ich beschreibe der Einfachheit halber eine Verteilungsfamilie mit 1 Parameter, bin aber offen für Verteilungsfamilien mit mehreren Parametern.

Außerdem suche ich nach Beispielen, in denen auf und genügend Parameterraum für Simulationszwecke vorhanden ist. Wenn Sie nur ein Beispiel finden, das für einige sehr spezifische und , wäre dies weniger hilfreich.$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Es ist bekannt, dass eine lineare Kombination von 2 zufälligen Normalvariablen auch eine zufällige Normalvariable ist. Gibt es gemeinsame nicht normale Verteilungsfamilien (z. B. Weibull), die diese Eigenschaft ebenfalls teilen?

Die Normalverteilung erfüllt eine schöne Faltungsidentität: . Wenn Sie sich auf den zentralen Grenzwertsatz beziehen, würden beispielsweise diese Gammaverteilungen mit demselben Formkoeffizienten diese Eigenschaft teilen und sich als Gammaverteilungen zusammenfassen. Bitte beachten Sie einen Warnhinweis zum Aufruf des zentralen Grenzwertsatzes . Im Allgemeinen würden sich jedoch bei ungleichen Formkoeffizienten Gammaverteilungen durch eine Faltung "addieren", die keine Gammaverteilung, sondern eine Gammafunktion wäre, die eine hypergeometrische Funktion der ersten Art multipliziert, wie in Gl. (2) von$X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$Faltung zweier Gammaverteilungen . Die andere Definition des Hinzufügens, dh das Bilden einer Mischungsverteilung von nicht verwandten Prozessen, würde nicht notwendigerweise eine zentrale Grenze aufweisen, beispielsweise wenn die Mittel unterschiedlich sind.

Es gibt wahrscheinlich andere Beispiele, ich habe keine erschöpfende Suche durchgeführt. Die Schließung für die Faltung scheint nicht weit hergeholt zu sein. Für die lineare Kombination ist das Produkt von Pearson VII mit einem Pearson VII ein weiterer Pearson VII .

Es ist bekannt, dass eine lineare Kombination von 2 zufälligen Normalvariablen auch eine zufällige Normalvariable ist. Gibt es gemeinsame nicht normale Verteilungsfamilien (z. B. Weibull), die diese Eigenschaft ebenfalls teilen?

$\mathscr{P}$$\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

$d=0$

Die abgabenstabilen Verteilungen können als eigenständige Verteilungsfamilie betrachtet werden, und in diesem Sinne ist sie die einzige Verteilungsfamilie mit dieser Stabilitätseigenschaft, da sie (per Definition) alle Verteilungen mit dieser Eigenschaft umfasst. Die Normalverteilung fällt in die Klasse der abgabenstabilen Verteilungen, ebenso wie die Cauchy-Verteilung , die Landau-Verteilung und die Holtsmark-Verteilung .