Grundlegende Differenzierungsformel verstehen

Ich habe eine Zeitreihe und möchte sie als ARFIMA-Prozess (auch bekannt als FARIMA) modellieren. Wenn y_t in der (gebrochenen) Ordnung d integriert ist , möchte ich es fraktioniert differenzieren, um es stationär zu machen.y t$y_t$$y_t$$d$

Frage : Ist die folgende Formel zur Definition der gebrochenen Differenzierung korrekt?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Hier bezeichnet $\Delta^d$ die gebrochene Differenzierung der Ordnung $d$ .)

Ich stütze die Formel auf diesen Wikipedia-Artikel auf ARFIMA , Kapitel ARFIMA ( $0,d,0$ ), bin mir aber nicht sicher, ob ich sie richtig verstanden habe.

Ja, es scheint richtig zu sein. Der Bruchfilter wird durch die Binomialerweiterung definiert:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Beachten Sie, dass der Verzögerungsoperator ist und dass dieser Filter nicht vereinfacht werden kann, wenn . Betrachten Sie nun den Prozess:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Wenn wir uns erweitern, erhalten wir:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

was geschrieben werden kann als:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Weitere Informationen finden Sie unter Asset Price Dynamics, Volatility and Prediction von Stephen J. Taylor (S. 243 in der Ausgabe 2007) oder Time Series: Theory and Methods von Brockwell und Davis.