Wahrscheinlichkeit eines aufeinanderfolgenden Wertepaares

Lets $X=(x_1, x_2,...x_{20})$ , wo $x_i\sim N(0,1)$ und $x_i, x_j$ unabhängig sind $\forall i\neq j$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu erhalten, $X$ bei der mindestens zwei aufeinanderfolgende Werte $x_i$ und $x_{i+1}$ vorliegen, so dass $\begin{cases} |x_{i}| & > & 1.5 \\ |x_{i+1}| & > & 1.5 \\ x_i x_{i+1} & < & 0 \end{cases}$ ?

probability markov-chain

— will198
quelle

0

$0$ ?

| 1.5 | = 1.5

$|1.5|=1.5$ Oder gibt es einen Tippfehler in der Frage? Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen

> 1.5

$>1.5$ und ihr Produkt

< 0

$<0$ ist, ist

0

$0$ .

— Dmitry Rubanovich

mit

x_{i}, x_{i + 1} > | 1.5 |

$x_i, x_{i+1}>|1.5|$ Ich meine, dass

x_{i}, x_{i + 1} > 1.5

$x_i, x_{i+1}>1.5$ oder

x_{i}, x_{i + 1} < - 1.5

$x_i, x_{i+1}< -1.5$ und mit

x_{i} * x_{i + 1} < 0

$x_i*x_{i+1}<0$ meine ich, dass ein Wert> 0 und der andere <0 ist. Zum Beispiel

x_{i} = 1.8

$x_i=1.8$ und

x_{i + 1} = - 2

$x_{i+1}=-2$ passen beide Bedingungen.

— Will198

Die erste Bedingung sollte sein, dass

| x_{i} |, | x_{i + 1} | < 1.5

$|x_i|,|x_{i+1}|<1.5$ und die zweite Bedingung ist, dass

x_{i} * x_{i + 1} < 0

$x_i*x_{i+1}<0$

— will198

Dann ist es ein Tippfehler. Es sollte sagen

| x_{i} |, | x_{i + 1} | > 1.5

$|x_i|,|x_{i+1}|>1.5$

— Dmitry Rubanovich

Jede Ihrer 20 Variablen hat eine Chance von ungefähr 0,0668, über 1,5 zu sein, und die gleiche Chance, unter -1,5 zu sein. Dies reduziert Ihr Problem auf eine Frage zu diskreten (3-wertigen) Variablen, die mit der Kettenregel gelöst werden könnten. Hierfür muss es möglich sein, eine Funktion mit Ihrem Limit (1.5) und der Anzahl aufeinanderfolgender Variablen (20) als Eingabe zu programmieren. Haben Sie Vorstellungen von R, SAS oder js?

— Dirk Horsten

Führen Sie eine Markov-Kette aus.

Ein "Flip" (bei Index ) sei das Ereignis, dass und entgegengesetzte Vorzeichen haben und beide eine Größe von überschreiten . Wenn wir eine Realisierung von nach Flips durchsuchen, können wir die Symmetrie der Standardnormalverteilung ausnutzen, um den Prozess mit nur vier Zuständen zu beschreiben: $i$ $X_{i-1}$ $X_{i}$ $1.5$ $(X_i)$

Der Start vor wird beobachtet. $X_1$
Null , wobei . $-1.5 \le X_{i-1} \le 1.5$
Eins , wo . $|X_{i-1}| \gt 1.5$
Umgedreht , wobei ein Flip bei auftritt . $i$

Startübergänge in den (gemischten) Zustand

μ = (1 - 2 p, 2 p, 0)

$\mu = (1-2p, 2p, 0)$

(entsprechend der Wahrscheinlichkeit, sich in Zuständen ( Null , Eins , Umgedreht ) zu befinden) mit Da Start nie wieder gesehen wird, sollten wir uns nicht die Mühe machen, es weiter zu verfolgen.

p = Pr (X_{1} < - 1.5) = Pr (X_{1} > 1.5) \approx 0.0668072.

$p = \Pr(X_1 \lt -1.5) = \Pr(X_1 \gt 1.5) \approx 0.0668072.$

Null geht mit einer Wahrscheinlichkeit von (wenn ) in Eins über und bleibt ansonsten bei Null . $2p$ $|X_i|\gt 1.5$

Man geht mit der Wahrscheinlichkeit in Flipped über : Dies tritt auf, wenn und haben das entgegengesetzte Vorzeichen von . Es geht auch mit der Wahrscheinlichkeit zurück zu Eins, wenn und haben das gleiche Vorzeichen wie . Andernfalls geht es auf Null über . $p$ $|X_i| \gt 1.5$ $X_i$ $X_{i-1}$ $p$ $|X_i| \gt 1.5$ $X_i$ $X_{i-1}$

Umgedreht ist ein absorbierender Zustand: Dort ändert sich nichts, unabhängig vom Wert von . $X_i$

Somit ist die Übergangsmatrix (ohne Berücksichtigung des transienten Starts ) für ( Null , Eins , Umgedreht ) daher

P = (\begin{array}{ccc} 1 - 2 p & 2 p & 0 \\ 1 - 2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

$\mathbb{P} = \left( \begin{array}{ccc} 1-2 p & 2 p & 0 \\ 1-2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Nach dem Verlassen des Startzustands (und dem Eintritt in den gemischten Zustand ) werden Übergänge im Scan für einen Flip durchgeführt. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist daher der dritte Eintrag (entsprechend Flipped ) in $\mu$ $20-1$

μ \cdot {P.}^{20 - - 1} \approx 0,149045.

$\mu \cdot \mathbb{P}^{20-1} \approx 0.149045.$

Berechnungsdetails

Wir müssen keine Matrixmultiplikationen durchführen, um zu erhalten . Stattdessen nach der Diagonalisierung $18$ $\mathbb{P}^{19}$

P. = {Q.}^{- - 1} E. Q.,

$\mathbb{P} = \mathbb{Q}^{-1} \mathbb{E} \mathbb{Q},$

Die Antwort für jeden Exponenten (auch für große Exponenten ) kann über nur eine Matrixmultiplikation als berechnet werden $n$

μ \cdot {P.}^{n} = (μ \cdot {Q.}^{- - 1}) {E.}^{n} Q.

$\mu\cdot\mathbb{P}^n = \left(\mu\cdot\mathbb{Q}^{-1}\right) \mathbb{E}^n \mathbb{Q}$

mit

μ \cdot {Q.}^{- - 1} = (1, \frac{- - 4 p^{2} + p + 1 - - \sqrt{(2 - - 7 p) p + 1}}{2 \sqrt{(2 - - 7 p) p + 1}}, - - \frac{- - 4 p^{2} + p + 1 + \sqrt{(2 - - 7 p) p + 1}}{2 \sqrt{(2 - - 7 p) p + 1}}),

$\mu \cdot \mathbb{Q}^{-1} = \left(1,\frac{-4 p^2+p+1-\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}},-\frac{-4 p^2+p+1+\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}}\right),$

Q. = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{(1 + p + \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1}) (3 p - - 1 + \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1})}{8 p^{2}} & - - \frac{1 + p + \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1}}{2 p} & 1 \\ \frac{(1 + p - - \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1}) (3 p - - 1 - - \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1})}{8 p^{2}} & - - \frac{1 + p - - \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1}}{2 p} & 1 \end{array})

$\mathbb{Q} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{\left(1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \frac{\left(1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \end{array} \right)$

und

{E.}^{n} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {(\frac{1}{2} (1 - - p - - \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1}))}^{n} & 0 \\ 0 & 0 & {(\frac{1}{2} (1 - - p + \sqrt{- - 7 p^{2} + 2 p + 1}))}^{n} \end{array})

$\mathbb{E}^n = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n \\ \end{array} \right)$

Eine Million-Iterations-Simulation (unter Verwendung R) unterstützt dieses Ergebnis. Seine Ausgabe,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

$0.1488$ $[0.1477, 0.1499]$ $0.149045$

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results

— whuber
quelle

Für Neugierige wird die Technik, die Whuber ausnutzte, um die Exponenten der Übergangsmatrix zu erhalten, in Lehrbüchern der elementaren linearen Algebra manchmal als "Diagonalisierung" bezeichnet.

— Sycorax sagt Reinstate Monica