In Bezug auf die Konvergenz der Wahrscheinlichkeit

Sei $\{X_n\}_{n\geq 1}$ eine Folge von Zufallsvariablen st $X_n \to a$ in der Wahrscheinlichkeit, wobei $a>0$ eine feste Konstante ist. Ich versuche folgendes zu zeigen:

$$\sqrt{X_n} \to \sqrt{a}$$ und $$\frac{a}{X_n}\to 1$$ beide in Wahrscheinlichkeit. Ich bin hier, um zu sehen, ob meine Logik richtig war. Hier ist meine Arbeit

VERSUCH

Für den ersten Teil haben wir

$$|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}|$$ $$\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}$$ Beachten Sie, dass $$\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a}$$ Es folgt dann, dass $$P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty$$ $$\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability$$

Für den zweiten Teil haben wir

$$|\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n|$$ Nun, da$X_n \to a$ als$n \to \infty$ , haben wir, dass$X_n$ eine begrenzte Folge ist. Mit anderen Worten existiert eine reelle Zahl$M<\infty$ st$|X_n|\leq M$ . So $$|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon M$$ Betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, so ergibt sich $$P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq P(|X_n-a|>\epsilon M)\to 0 \;\;as\;n\to\infty$$

Ich bin ziemlich zuversichtlich in der ersten, aber in der zweiten ziemlich fragwürdig. War meine Logik richtig?

Die Details der Beweise sind weniger wichtig als die Entwicklung geeigneter Intuitionen und Techniken. Diese Antwort konzentriert sich auf einen Ansatz, der dabei helfen soll. Es besteht aus drei Schritten: einem "Setup", in dem die Annahme und Definitionen eingeführt werden; den "Körper" (oder einen "entscheidenden Schritt"), in dem die Annahmen in irgendeiner Beziehung zu dem stehen, was bewiesen werden soll, und die "Auflösung", in der der Beweis abgeschlossen wird. Wie in vielen Fällen bei Wahrscheinlichkeitsbeweisen ist der entscheidende Schritt hier die Arbeit mit Zahlen (den möglichen Werten von Zufallsvariablen), anstatt sich mit den viel komplizierteren Zufallsvariablen selbst zu befassen.

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Konvergenz der Wahrscheinlichkeit einer Folge von Zufallsvariablen $Y_n$ zu einer Konstanten $a$ bedeutet, dass unabhängig von der gewählten Nachbarschaft von $0$ schließlich jedes $Y_n-a$ in dieser Nachbarschaft mit einer Wahrscheinlichkeit liegt, die beliebig nahe kommt$1$ . (Ich werde nicht darlegen, wie man "schließlich" und "willkürlich nah" in formale Mathematik übersetzt - jeder, der sich für diesen Beitrag interessiert, weiß das bereits.)

Denken Sie daran, dass eine Nachbarschaft von $0$ eine Menge reeller Zahlen ist, die eine offene Menge von $0$ gehört.

Das Setup ist Routine. Betrachten Sie die Folge $Y_n = a/X_n$ und lassen Sie $\mathcal{O}$ eine beliebige Nachbarschaft von $0$ . Das Ziel ist zu zeigen, dass eventuell $Y_n-1$eine willkürlich hohe Wahrscheinlichkeit hat, in $\mathcal{O}$ . Da $\mathcal{O}$ eine Nachbarschaft ist, muss es eine $\epsilon \gt 0$ für die das Öffnungsintervall $(-\epsilon, \epsilon)\subset \mathcal{O}$ . Wir können $\epsilon$ gegebenenfalls verkleinern , um ϵ < 1 zu gewährleisten$\epsilon \lt 1$, auch. Dies stellt sicher, dass nachfolgende Manipulationen legitim und nützlich sind.

Der entscheidende Schritt wird darin bestehen, mit X n zu verbinden . Das erfordert überhaupt keine Kenntnis von Zufallsvariablen. Die Algebra numerischer Ungleichungen (unter Ausnutzung der Annahme a > 0 ) besagt, dass die Menge der Zahlen { Y n ( ω $Y_n$$X_n$$a\gt 0$ steht für jedes ϵ > 0 in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung zu der Menge aller X n ( ω ), für die$\{Y_n(\omega)\,|\, Y_n(\omega) - 1 \in (-\epsilon, \epsilon)\}$$\epsilon \gt 0$$X_n(\omega)$

$$\frac{a}{1+\epsilon} \lt X_n(\omega) \lt \frac{a}{1-\epsilon}.$$

Äquivalent dazu

$$X_n(\omega)-a \in \left(-\frac{a\epsilon}{1+\epsilon}, \frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right) = \mathcal{U}.$$

Da , ist die rechte Seite U tatsächlich eine Nachbarschaft von 0 . (Dies zeigt deutlich, was zusammenbricht, wenn a = 0 ist .)$a\ne 0$$\mathcal{U}$$0$$a=0$

Wir sind bereit für die Auflösung.

Aufgrund der Wahrscheinlichkeit von wissen wir, dass schließlich jedes X n - a mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit innerhalb von U liegt . In äquivalenter, Y n - 1 wird schließlich liegen in ( - ε , ε ) ⊂ O mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit, QED .$X_n \to a$$X_n-a$$\mathcal{U}$$Y_n-1$$(-\epsilon,\epsilon) \subset \mathcal{O}$

Das ist uns gegeben

$$\lim_{n \rightarrow \infty}P(|X_n-\alpha| > \epsilon) = 0$$

und das wollen wir zeigen

$$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| > \epsilon\right) = 0$$

Wir haben das

$$\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| = \left|\frac {1}{X_n}(\alpha-X_n)\right| = \left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right|$$

So equivalently, we are examining the probability limit

$$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) = \;?\;0$$

We can break the probability into two mutually exclusive joint probabilities

$$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) =\\ P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) + P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right)$$

For the first element we have the series of inequalities

$$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \big] \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon \big]$$

The first inequality comes from the fact that we are considering the region where $|X_n|$ is higher than unity and so its reciprocal is smaller than unity. The second inequality because a joint probability of a set of events cannot be greater than the probability of a subset of these events.
The limit of the rightmost term is zero (this is the premise), so the limit of the leftmost term is also zero. So the first element of the probability that interests us is zero.

For the second element we have

$$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right) = P\left(\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon|X_n|,|X_n| < 1 \right)$$

Define $\delta \equiv \epsilon\cdot \max |X_n|$. Since here $|X_n|$ is bounded, it follows that $\delta$ can be made arnitrarily small or large, and so it is equivalent to $\epsilon$. So we have the inequality

$$P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \delta,|X_n| < 1 \big] \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \delta \big]$$

Again, the limit on the right side is zero by our premise, so the limit on the left side is also zero. Therefore the second element of the probability that interests us is also zero. QED.

For the first part, take $x,a,\epsilon>0$, and note that

$$\begin{align} |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon &\Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\frac{\epsilon\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \\ &\Rightarrow |(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})|\geq\epsilon\sqrt{a}\Rightarrow |x-a|\geq\epsilon\sqrt{a}. \end{align}$$ Hence, for any $\epsilon>0$, defining $\delta=\epsilon\sqrt{a}$, we have $$\Pr(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\geq\epsilon)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$$ when $n\to\infty$, implying that $\sqrt{X_n}\stackrel{\Pr}\to\sqrt{a}$.

For the second part, take again $x,a,\epsilon>0$, and cheat from Hubber's answer (this is the key step ;-) to define

$$\delta = \min\left\{ \frac{a\epsilon}{1+\epsilon},\frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right\}.$$ Now, $$\begin{align} |x-a|<\delta &\Rightarrow a-\delta<x<a+\delta \Rightarrow a - \frac{a\epsilon}{1+\epsilon} < x < a + \frac{a\epsilon}{1-\epsilon} \\ &\Rightarrow \frac{a}{1+\epsilon} < x < \frac{a}{1-\epsilon} \Rightarrow 1-\epsilon<\frac{a}{x}<1+\epsilon \Rightarrow \left| \frac{a}{x}-1\right|<\epsilon. \end{align}$$ The contrapositive of this statement is $$\left| \frac{a}{x}-1\right|\geq\epsilon \Rightarrow |x-a|\geq\delta.$$

Therefore,

$$\Pr\!\left(\left|\frac{a}{X_n}-1\right|\geq\epsilon\right)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$$ when $n\to\infty$, implying that $\frac{a}{X_n}\stackrel{\Pr}\to 1$.

Note: both items are consequences of a more general result. First of all remember this Lemma: $X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$ if and only if for any subsequence $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$ there is a subsequence $\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$ such that $X_{n_{i_j}}\to X$ almost surely when $j\to\infty$. Also, remember from Real Analysis that $g:A\to\mathbb{R}$ is continuous at a limit point $x$ of $A$ if and only if for every sequence $\{x_n\}$ in $A$ it holds that $x_n\to x$ implies $g(x_n)\to g(x)$. Hence, if $g$ is continuous and $X_n\to X$ almost surely, then

$$\Pr\!\left(\lim_{n\to\infty}g(X_n)=g(X)\right)\geq\Pr\!\left(\lim_{x\to\infty}X_n=X\right)=1,$$ and it follows that $g(X_n)\to g(X)$ almost surely. Moreover, $g$ being continuous and $X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$, if we pick any subsequence $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$, then, using the Lemma, there is a subsequence $\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$ such that $X_{n_{i_j}}\to X$ almost surely when $j\to\infty$. But then, as we have seen, it follows that $g(X_{n_{i_j}})\to g(X)$ almost surely when $j\to\infty$. Since this argument holds for every subsequence $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$, using the Lemma in the other direction, we conclude that $g(X_n)\stackrel{\Pr}{\to}g(X)$. Hence, to answer your question you can just define continuous functions $g(x)=\sqrt{x}$ and $h(x)=a/x$, for $x>0$, and apply this result.