X, Y sind iid von N (0,1). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X> 2Y ist?

Ich dachte, da von und sie dann unabhängig sind $X, Y$ $N(0,1)$

$X - 2Y$ hat eine Verteilung von . Dann hat eine Wahrscheinlichkeit von . $N(0, 5)$ $X-2Y > 0$ $1/2$

Das Obige scheint mir richtig zu sein, obwohl es so hätte eine Wahrscheinlichkeit von . Das scheint ein bisschen falsch. Habe ich etwas falsch gemacht? $X>nY$ $1/2$

probability normal-distribution

— Vendetta
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Was scheint dort "ein bisschen falsch" zu sein? Denken Sie vielleicht über die bedingte Wahrscheinlichkeit nach? ( ... das ist nicht die fragliche Wahrscheinlichkeit)

P (X > n Y | Y)

$P(X>nY|Y)$

— Glen_b -State Monica

Wenn ich Sie richtig verstanden habe, scheinen die Ergebnisse für Sie nicht intuitiv zu sein. Aber selbst wenn n groß ist, ist Y positiv mit der Wahrscheinlichkeit (und negativ mit der Wahrscheinlichkeit ). Obwohl | X | ist wahrscheinlich nicht größer als | nY |, die Wahrscheinlichkeit ohne absolute Werte ist begründet durch .

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

— Lan

Bei einer bivariaten Standardnormalen (dh einer Standardnormalen) beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf einer Seite einer Linie durch den Ursprung zu liegen, unabhängig von der Steigung der Linie. $\frac{_1}{^2}$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies folgt zum Beispiel aus der Rotationssymmetrie der bivariaten Verteilung um , da wir das Problem auf die Betrachtung von in gedrehten Koordinaten drehen könnten . $O$ $P(X'\gt0)$

In Anbetracht der Verwendung affiner Transformationen bedeutet dies, dass es viel allgemeiner - das Argument gilt für jede bivariate Normalen, bei der beide Varianzen größer als 0 sind. $\frac{_1}{^2}$

— Glen_b - Monica neu starten
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Danke, ich fand meine Schlussfolgerung etwas kontraintuitiv, aber Ihr Diagramm macht mir das alles klar.

— Vendetta

Wenn und gemeinsam normale Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null sind (nicht unbedingt unabhängig), dann ist eine normale Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null und somit Unabhängigkeit und Varianzen haben nichts mit der Sache zu tun: Alles, was für das obige Ergebnis erforderlich ist, ist, dass die Variablen gemeinsam normal sind und dass die Mittelwerte Null sind. (Triviale Ausnahme, wenn gleich , das heißt, es ist eine entartete normale Zufallsvariable, auch bekannt als Konstante, die , wenn und perfekt korreliert sind und ).

X

$X$

Y

$Y$

X - a Y

$X-aY$

P {X > a Y} = P {X - a Y > 0} = \frac{1}{2} .

$P\{X > aY\} = P\{X-aY > 0\} = \frac 12.$

X - a Y

$X-aY$

0

$0$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{X} = a σ_{Y}

$\sigma_X = a\sigma_Y$

— Dilip Sarwate

Danke Dilip, dein Kommentar ist natürlich völlig richtig - ich habe mit den gegebenen Bedingungen begonnen und versucht, eine Motivation für das Ergebnis zu geben, das das OP bereits abgeleitet hat.

— Glen_b -Rate State Monica