Das Einbeziehen zufälliger Terme in das Modell ist eine Möglichkeit, eine Kovarianzstruktur zwischen den Noten zu induzieren. Der Zufallsfaktor für die Schule induziert eine Kovarianz ungleich Null zwischen verschiedenen Schülern derselben Schule, während er wenn die Schule unterschiedlich ist.0
Schreiben wir Ihr Modell als
wobei s die Schule indiziert und i die Schüler indiziert (in jeder Schule). Die Begriffe Schule s sind unabhängige Zufallsvariablen, die in einem N ( 0 , τ ) gezeichnet sind . Die e s , i sind unabhängige Zufallsvariablen, die in a N ( 0 , σ gezeichnet sind
Ys,i=α+hourss,iβ+schools+es,i
sischoolsN(0,τ)es,i .
N(0,σ2)
Dieser Vektor hat den erwarteten Wert
,
die durch die Anzahl der Arbeitsstunden bestimmt.
[α+hourss,iβ]s,i
Die Kovarianz zwischen und Y s ' , i ' ist 0 , wennYs,iYs′,i′0 , was bedeutet, dass die Abweichung der Noten von den erwarteten Werten unabhängig ist, wenn die Schüler nicht in derselben Schule sind.s≠s′
Die Kovarianz zwischen und Y s , i ' ist τ, wenn i ≠ i ' ist , und die Varianz von Y s , i istYs,iYs,i′τi≠i′Ys,iτ+σ2
Beispiel und simulierte Daten
σ2=τ=1
set.seed(1)
school <- rep(1:5, each=10)
school_effect <- rnorm(5)
school_effect_by_ind <- rep(school_effect, each=10)
individual_effect <- rnorm(50)
schools+es,i
plot(individual_effect + school_effect_by_ind, col=school, pch=19,
xlab="student", ylab="grades departure from expected value")
segments(seq(1,length=5,by=10), school_effect, seq(10,length=5,by=10), col=1:5, lty=3)
![mixed model](https://i.stack.imgur.com/H38W7.png)
schoolsα+hoursβ
Die Varianzmatrix für dieses Beispiel
schoolses,i
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢A00000A00000A00000A00000A⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
10×10AA=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2111111111121111111111211111111112111111111121111111111211111111112111111111121111111111211111111112⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.