Beweisen oder liefern Sie ein Gegenbeispiel:

Wenn $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , dann $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Mein Versuch :

FALSE: Angenommen, $X$ kann nur negative Werte annehmen und $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

DANN $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , aber auch für $n$ , $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ ist nicht streng negativ. Stattdessen wechselt es negativ zu positiv und negativ. Daher $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ konvergiert nicht fast sicher zu $X$ .

Ist das eine vernünftige Antwort? Wenn nicht, wie kann ich meine Antwort verbessern?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
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muss streng positiv sein, damit dies sinnvoll ist.

X_{i}

$X_i$

— user765195

Natürlich benötigen Sie

, um

richtig zu definieren. Beweisen Sie zunächst, dass

as konvergiert (googeln Sie "Cesaro mean" in Real Analysis und passen Sie das Argument an). Dann betrachte

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Zen

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

Die Intuition ist, dass Sie den Durchschnitt mit immer mehr berechnen, die immer näher an und am Ende das Ergebnis dominieren.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Zen

Antworten:

Bevor Sie etwas Interessantes beweisen, beachten Sie, dass fast sicher für alle keine notwendige Bedingung ist, damit beide Aussagen Sinn machen, was die deterministische Sequenz veranschaulicht. $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Darüber hinaus ist die Aussage im Allgemeinen tatsächlich falsch, wie die folgende deterministische Sequenz beweist: . $(0, 1, 1, \dots)$

Angenommen, fast sicher für alle , dann ist die Aussage durch das folgende Argument wahr: $X_i >0$ $i$

DefiniereDurch die Kontinuität von , fast sicher. Somit bedeutet fast sicher durch ein Ergebnis für Cesaro auch in den obigen Kommentaren bewiesen. Durch die Kontinuität von , fast sicher.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— ekvall
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Diese Behauptung ist falsch. Ich gebe Beweise, indem ich ein Gegenbeispiel gebe.

Angenommen, die Zufallsfolge ist wie folgt definiert: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Offensichtlich (1) degeneriert und (2) konvergiert fast sicher zu als durch Tschebyscheffsche starkes Gesetz der großen Zahlen. (Um dies zu sehen, schreiben Sie für .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Da jedoch , ist . Folglich ist , so dass es im Grenzfall trivial gegen konvergiert , das heißt . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Jeremias K.
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Sie scheinen den Exponenten vergessen zu haben .

1 / n

$1/n$

— whuber

Danke whuber, ich habe es behoben :) Ich sollte wirklich daran arbeiten, die Dinge genauer zu lesen ... Ich habe auch zuerst bewiesen, dass die Aussage auch nicht für weil ich nicht richtig gelesen.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Jeremias K

Vielen Dank. Alle diese Berechnungen scheinen eine einfache Idee zu verschleiern: Wenn ungleich Null ist, ändern Sie den Grenzwert nicht, indem Sie eine endliche Zahl von auf Null ändern. wird das Produkt jedoch zu Null und Sie erhalten einen Widerspruch. Fair genug. Sofern uns nichts anderes gesagt wird, sollten Aussagen über unendliche Produkte als Aussagen über unendliche Summen der Logarithmen verstanden werden. Das Interesse an dieser Frage konzentriert sich insbesondere auf den Fall, dass jedes mit ziemlicher Sicherheit streng positiv ist .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@whuber dieser letzte Kommentar ist interessant. Ist es tatsächlich so, dass Produktgrenzen durch Konvention oder vielleicht durch Definition (?) In Bezug auf die Logarithmen verstanden werden? In diesem Fall würde ich auch den Wortlaut meiner obigen Antwort ändern. Insbesondere der letzte Aufruf zur Kontinuität wäre überflüssig.

— Ekvall

@Student Die Begründung in Ihrer Antwort ist in Ordnung. In statistischen Anwendungen ist es selten, dass jemand eine solche Grenze geometrischer Mittel betrachtet, wenn er nicht bereits in Logarithmen denkt.

— whuber