Eine Frage im Zusammenhang mit Borel-Cantelli Lemma

Hinweis:

Borel-Cantelli Lemma sagt das

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Dann,

wenn

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

unter Verwendung von Borel-Cantelli Lemma

Ich möchte das zeigen

zuerst,

existiert $\lim_{n\to \infty}P(A_n)$

und zweitens,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Bitte helfen Sie mir, diese beiden Teile zu zeigen. Vielen Dank.

— B11b
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Nein, das sagt das Borel-Cantelli-Lemma zumindest nicht ohne weitere Annahmen.

— Kardinal

@ Kardinal Nun, wie kann ich diese beiden Aussagen zeigen? Kannst du es mir bitte erklären? Ich habe nicht genug Ahnung. Ich werde froh sein, wenn Sie eine solutin Weise zeigen :) Danke

— B11b

Eine "weitere Annahme" hinzugefügt.

— Zen

Minor Anmerkung: wie erwähnt hier , zum Beispiel, können wir durch mit nur paarweise Unabhängigkeit des bekommen

im zweiten Teil des Lemmas

A_{n}

$A_n$

— jld

Keine der Behauptungen ist wahr.

Lassen ist die Chance der Köpfe in einer Münze sein, mit einer Wahrscheinlichkeit von , wenn ungerade ist und $A_n$ $1/n^2$ $n$ wennist. Dann: $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

$\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
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