Simulieren Sie aus einer Normalverteilung einer abgeschnittenen Mischung

Ich möchte eine Probe aus einer Mischungsnormalverteilung so simulieren, dass

p \times N (μ_{1}, σ_{1}^{2}) + (1 - p) \times N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

$p\times\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) + (1-p)\times\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$

ist auf das Intervall anstelle von . Dies bedeutet, dass ich eine abgeschnittene Mischung von Normalverteilungen simulieren möchte. $[0,1]$ $\mathbb{R}$

Ich weiß, dass es einen Algorithmus gibt, um eine abgeschnittene Normalität (dh aus dieser Frage ) und ein entsprechendes Paket in R zu simulieren , um dies zu tun. Aber wie kann ich eine abgeschnittene Mischung normal simulieren? Ist es dasselbe, wenn ich zwei abgeschnittene Normalen von und ) simuliere , um eine abgeschnittene Mischung normal zu machen? $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ $\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2$

— Alexy
quelle

Wenn es sich um das Einheitsintervall handelt, warum nicht Betas anstelle von Normalen verwenden? Für ist die Verteilung symmetrisch und unimodal und auf das Einheitsintervall begrenzt.

α = β > 1

$\alpha=\beta>1$

— Sycorax sagt Reinstate Monica

Wenn Sie nicht über Ihre Simulationen müssen sehr schnell sein, können Sie es tun Verwerfungsmethode unter Verwendung von : (1) Probe aus der Mischung von zwei Normalen, (2) wenn nicht in ist , gehen Sie zurück zu Schritt 1, (3) Ausgabe . (aber user777 hat recht, haben Sie einen guten Grund, diese Distribution anstelle einer Mischung aus Betas

x

$x$

x

$x$

[0, 1]

$[0,1]$

x

$x$

— Elvis

@ user777 Eine abgeschnittene Gaußsche Mischung hat eine andere Verteilung als eine Beta-Verteilung und kann nicht ausgetauscht werden, nur weil Sie Symmetrie und dieselbe Unterstützung erzwingen können.

— Mjnichol

Die Simulation von einer abgeschnittenen Normalen ist einfach durchzuführen, wenn Sie Zugriff auf eine ordnungsgemäße normale Quantilfunktion haben. Zum Beispiel kann in R die Simulation von wobei und die unteren und oberen Grenzen bezeichnen, durch Invertieren des cdf zB in R.

N_{a}^{b} (μ, σ^{2})

$\mathcal{N}_a^b(\mu,\sigma^2)$

a

$a$

b

$b$

\frac{Φ (σ^{- 1} {x - μ}) - Φ (σ^{- 1} {a - μ})}{Φ (σ^{- 1} {b - μ}) - Φ (σ^{- 1} {a - μ})}

$\dfrac{\Phi(\sigma^{-1}\{x-\mu\})-\Phi(\sigma^{-1}\{a-\mu\})}{\Phi(\sigma^{-1}\{b-\mu\})-\Phi(\sigma^{-1}\{a-\mu\})}$

x = mu + sigma * qnorm( pnorm(a,mu,sigma) + 
     runif(1)*(pnorm(b,mu,sigma) - pnorm(a,mu,sigma)) )

Ansonsten habe ich vor zwanzig Jahren einen abgeschnittenen normalen Akzeptanz-Ablehnungs-Algorithmus entwickelt.

Wenn wir das Problem der abgeschnittenen Mischung betrachten, mit der Dichte es ist eine Mischung aus abgeschnittenen Normalverteilungen, aber mit unterschiedlichen Gewichten : Daher aus einer abgeschnittenen Normalen zu simulieren Mischung ist es ausreichend zu nehmen

f (x; θ) \propto {p φ (x; μ_{1}, σ_{1}) + (1 - p) φ (x; μ_{2}, σ_{2})} I_{[a, b]} (x)

$f(x;\theta) \propto \left\{p\varphi(x;\mu_1,\sigma_1)+(1-p)\varphi(x;\mu_2,\sigma_2)\right\}\mathbb{I}_{[a,b]}(x)$

f (x; θ) \propto p {Φ (σ_{1}^{- 1} {b - μ_{1}}) - Φ (σ_{1}^{- 1} {a - μ_{1}})} \frac{σ_{1}^{- 1} ϕ (σ_{1}^{- 1} {x - μ_{1}})}{Φ (σ_{1}^{- 1} {b - μ_{1}}) - Φ (σ_{1}^{- 1} {a - μ_{1}})} + (1 - p) {Φ (σ_{2}^{- 1} {b - μ_{2}}) - Φ (σ_{2}^{- 1} {a - μ_{2}})} \frac{σ_{2}^{- 1} ϕ (σ_{2}^{- 1} {x - μ_{2}})}{Φ (σ_{2}^{- 1} {b - μ_{2}}) - Φ (σ_{1}^{- 1} {a - μ_{2}})}

$f(x;\theta) \propto p\left\{\Phi(\sigma_1^{-1}\{b-\mu_1\})-\Phi(\sigma_1^{-1}\{a-\mu_1\}) \right\}\dfrac{\sigma_1^{-1}\phi(\sigma_1^{-1}\{x-\mu_1\})}{\Phi(\sigma_1^{-1}\{b-\mu_1\})-\Phi(\sigma_1^{-1}\{a-\mu_1\})} \\[15pt] +(1-p)\left\{\Phi(\sigma_2^{-1}\{b-\mu_2\})-\Phi(\sigma_2^{-1}\{a-\mu_2\}) \right\}\dfrac{\sigma_2^{-1}\phi(\sigma_2^{-1}\{x-\mu_2\})}{\Phi(\sigma_2^{-1}\{b-\mu_2\})-\Phi(\sigma_1^{-1}\{a-\mu_2\})}$

x = {\begin{cases} x_{1} \sim N_{a}^{b} (μ_{1}, σ_{1}^{2}) & with probability \\ p {Φ (σ_{1}^{- 1} {b - μ_{1}}) - Φ (σ_{1}^{- 1} {a - μ_{1}})} / s \\ x_{2} \sim N_{a}^{b} (μ_{2}, σ_{2}^{2}) & with probability \\ (1 - p) {Φ (σ_{2}^{- 1} {b - μ_{2}}) - Φ (σ_{2}^{- 1} {a - μ_{2}})} / s \end{cases}

$x=\begin{cases} x_1\sim\mathcal{N}_a^b(\mu_1,\sigma_1^2) &\text{with probability }\\ &\qquad p\left\{\Phi(\sigma_1^{-1}\{b-\mu_1\})-\Phi(\sigma_1^{-1}\{a-\mu_1\}) \right\}\big/\mathfrak{s}\\ x_2\sim\mathcal{N}_a^b(\mu_2,\sigma_2^2) &\text{with probability }\\ &\qquad(1-p)\left\{\Phi(\sigma_2^{-1}\{b-\mu_2\})-\Phi(\sigma_2^{-1}\{a-\mu_2\}) \right\}\big/\mathfrak{s} \end{cases}$ denen

\begin{aligned} s = & p {Φ (σ_{1}^{- 1} {b - μ_{1}}) - Φ (σ_{1}^{- 1} {a - μ_{1}})} + \\ (1 - p) {Φ (σ_{2}^{- 1} {b - μ_{2}}) - Φ (σ_{2}^{- 1} {a - μ_{2}})} \end{aligned}

$\begin{align} \mathfrak{s}=&p\left\{\Phi(\sigma_1^{-1}\{b-\mu_1\})-\Phi(\sigma_1^{-1}\{a-\mu_1\}) \right\}+ \\ &(1-p)\left\{\Phi(\sigma_2^{-1}\{b-\mu_2\})-\Phi(\sigma_2^{-1}\{a-\mu_2\}) \right\} \end{align}$

— Xi'an
quelle

Warum können wir nicht einfach die Stichprobe aus der ersten Normalen mit der Wahrscheinlichkeit p und der zweiten Verteilung mit der Wahrscheinlichkeit 1 - p ziehen?

— Mjnichol

Ah! Ich denke, ich sehe das Problem. Dies liegt daran, dass die gesamte Distribution abgeschnitten wird und nicht jede Distribution separat. Wenn jede Unterverteilung der Mischung einzeln abgeschnitten würde, bevor sie in die Mischung gegeben wird, könnten wir einfach eine Stichprobe aus der Verteilung gemäß den relativen Gewichten jeder Unterverteilung ziehen, oder?

— Mjnichol

@mjnichol Es ist eine Mischung, aber mit anderen Gewichten als und .

p

$p$

1 - p

$1-p$

— Xi'an

@ Xi'an: Nehmen wir an, wir betrachten ein etwas anderes Setup: Was wäre, wenn wir anstelle der Mischungsverteilung aus gewichteten Gaußschen und dem anschließenden Abschneiden stattdessen zwei bereits abgeschnittene Gaußsche (mit derselben Unterstützung) mischen würden? Wenn die Gaußschen vor dem Mischen abgeschnitten würden, könnten wir aus der Verteilung eine Stichprobe machen, indem wir die erste abgeschnittene Gaußsche mit der Wahrscheinlichkeit p und die zweite mit der Wahrscheinlichkeit 1 - p abtasten.

— Mjnichol

@mjnichol: In diesem Fall hätten Sie also ja das würde ja funktionieren.

p N_{a}^{b} (μ_{1}, σ_{1}^{2}) + (1 - p) N_{a}^{b} (μ_{2}, σ_{2}^{2})

$p\mathcal{N}_a^b(\mu_1,\sigma_1^2)+(1-p)\mathcal{N}_a^b(\mu_2,\sigma_2^2)$

— Xi'an