Wie kann ich in geschlossener Form berechnen ?

Wie kann man die Erwartung des quadratischen normalen CDF in geschlossener Form bewerten?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Hier sind , reelle Zahlen, und und sind die Dichte- und Verteilungsfunktionen einer normalen Standardzufallsvariablen. beziehungsweise. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
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Wo steckst du fest? Haben Sie versucht, es zu bewerten? Verwenden Sie vielleicht die Tatsache, dass

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— am

Ich habe versucht, das Integral mithilfe der Integration durch Teile und anderer (einfacher) Techniken zu bewerten, aber das hat mich nirgendwohin geführt. Außerdem habe ich tatsächlich von der Varianz ausgegangen, um hierher zu kommen. Ich habe eine ähnliche Frage gefunden ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), aber die Erweiterung auf die quadratische CDF scheint nicht trivial zu sein.

— Andrei

Haben Sie darüber nachgedacht, Polarkoordinaten zu verwenden?

— StatsStudent

Nein, habe ich nicht, können Sie ein bisschen detaillieren?

— Andrei

Wenn und , ist gleichmäßig zwischen 0 und 1 verteilt. Sein zweites Moment ist dann . Ich erinnere mich, dass ich versucht habe, so etwas wie das zu berechnen, was Sie für allgemeines und verlangen , aber ich habe keine geschlossenen Lösungen gefunden.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Wie in meinem obigen Kommentar erwähnt, finden Sie in Wikipedia eine Liste der Integrale von Gaußschen Funktionen. Unter Verwendung Ihrer Notation ergibt sich wobei Owens T-Funktion ist, die durch

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Wenn Sie einstecken Sie wie aus den Kommentaren hervorgeht. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— soakley
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Vielen Dank, genau das habe ich gesucht.

— Andrei